Другие вопросы анализа динамических рядов

динамический ряд дискретный тренд Достаточно часто данные экспериментов или наблюдений, представленные в виде динамических рядов, должны быть охарактеризованы с помощью обычных статистик — средним, стандартным отклонением и т. д. Если анализируется пара рядов, может понадобиться вычислить коэффициент корреляции между ними. В дальнейшем к этим статистикам могут быть применены обычные процедуры: построение доверительных интервалов, оценка значимости и т. д. Однако все эти приемы предполагают, что исходные значения являются независимыми случайными величинами, но в случае динамических рядов это условие не выполняется. Поэтому оказывается, что если стандартные методы применять к значениям, составляющим динамические ряды, то вероятно возникновение ошибок, порой значительных, и окончательные выводы могут оказаться несостоятельными.

Например, если в нашем распоряжении имеется ряд значений, корреляция между которыми плавно уменьшается и равна нулю, если значения отстоят друг от друга на s отсчетов, то, как показал Е. Е. Слуцкий, стандартная ошибка среднего в этом случае будет в раз больше, чем стандартная ошибка некоррелированного ряда такой же длины и имеющего одинаковое среднее и дисперсию со связанным рядом. Совершенно очевидно, что в случае коррелированных значений доверительный интервал для среднего существенно увеличится, и чтобы получить одно и то же значение для этого интервала в случае связанных и несвязанных рядов, число членов в связанном ряду должно быть в s раз больше.

Сложность оценки различных статистик для динамических рядов состоит в том, что их стандартные ошибки зависят от характера корреляции между значениями отдельных последовательных отсчетов. Как же поступать в тех случаях, когда необходимо найти некоторые описательные статистики и построить для них доверительные интервалы, не имея аналитического описания взаимосвязи между значениями динамического ряда?

Здесь можно воспользоваться следствием так называемой теоремы отсчетов, доказанной академиком В. А. Котельниковым. Не приводя формулировку и доказательство этой теоремы, ограничимся следующим выводом из нее. Если известно, что для анализируемого динамического ряда максимальной частотой является, то беря отсчеты с интервалом, получим ряд некоррелированных значений, для анализа которых можно использовать обычные статистические приемы.

В тех случаях, когда неизвестна максимальная граничная частота или в силу специфики экспериментов не удается выполнить требование об интервале между отсчетами, можно рекомендовать следующий прием.

Для исходного динамического ряда, заданного дискретным числом отсчетов, находится определенное число серийных коэффициентов корреляции. Делается это следующим образом. Из исходного ряда сдвигом всех его значений относительно самих себя на 1,2,3,…, k получают соответствущие пары рядов. Для каждой такой пары вычисляют обычный коэффициент корреляции. Общее число сдвигов не должно, как правило, превышать 15−20% от числа отсчетов в анализируемом ряду. График таких серийных коэффициентов корреляции носит название коррелограммы. Если одним из стандартных численных методов найти площадь под коррелограммой, то значение k, до которого площадь под коррелограммой составляет половину всей вычисленной площади, будет определять интервал корреляции. Эта информация и должна быть использован в дальнейшем при нахождении описательных статистик и построения для них доверительных интервалов.

Мы здесь описали в содержательных понятиях порядок построения коррелограммы, но в практике статистического анализа экспериментальных данных никто, естественно, эти вычисления вручную не проводит. Для этих целей существуют специально разработанные программы для вычислительных машин, с помощью которых осуществляются необходимые расчеты и строятся соответствующие графики.