Функции ak. Введение в теорию функций комплексного переменного

В § 2, п. 2 мы вывели формулу (25), представляющую ^'²(z) в виде произведения трёх множителей. Согласно этой формуле, произведение, стоящее в правой части, является квадратом однозначной аналитической функции. Оказывается, то же самое можно утверждать относительно каждого из трёх множителей ф (г)—e_k (?=1, 2,3). Чтобы в этом убедиться, положим сначала в формуле (38) м ==; тогда получим:

В силу формулы (32) мы можем написать: т. е.

Заметив это, перепишем (39) в виде:

Полагая в формуле (38) «= со —f-со' и и=:<�о'и поступая аналогично, мы представим две другие разности также в виде квадрата частного двух целых функций. Таким образом, будем иметь:

или

где положено:

Уравнения (41') определяют три квадратных радикала, как однозначные функции z. Отметим некоторые свойства функций з_Л(2г),.

Все три функции з_к[г), очевидно, целые и, полагая z — 0 в формулах (42), найдём:

Заменяя в формуле (40) z на — z и пользуясь нечётностью функции з (зг), перепишем (40) в виде.

а значит,.

и то же самое для функций a₂(z) и o₃(z), т. е. функции a_k(z) суть чётные. Изменяя z, w, w на kz> Aw, Aw' и пользуясь свойствами однородности a (z; 2w, 2w) и 7j (2w, 2w), мы заключаем: функции a_k (z; 2w, 2w) однородны относительно z, w, w' измерения 0.

Подставляя выражение (41) в формулу (25) и извлекая квадратный корень, будем иметь:

Остаётся лишь определить знак в последней формуле. Для этого, помножив обе части этой формулы на г³, заставим затем г стремиться к нулю. Так как.

то отсюда мы заключаем, что в предыдущей формуле следует брать знак —, т. е.

Наконец, посмотрим, как изменяются функции а_л (z) при прибавлении к аргументу периода. Чтобы придать выводимым формулам однообразный вид, введем следующие обозначения:

и соответственно.

Тогда формулы (42) в этих обозначениях будут:

Формулы же (32) примут вид:

Отправляясь от формулы (44), используя (32') и тождество Лежандра (31), легко найдём:

и

* I 1 _. • ?

Как следствие формул (32'), (45) и (46) мы получаем: и.

где /г, h и / могут принимать значения 1, 2, 3, различные между собою.