Математическое ожидание. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Рассмотрим дискретную случайную величину Ъ, со значениями х_ь х₂, …, х_пиих вероятностями р_ь р₂, р_п.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины ^ называется сумма произведений всех возможных значений случайной.

П

величины на вероятности этих значений: М^ =.

Таким образом, математическое ожидание — это средневзвешенное значение случайной величины с весами — вероятностями.

Математическое ожидание есть теоретическая характеристика случайной величины. Каждая случайная величина, как уже известно, имеет свой закон распределения, зная который, можно рассчитать ее математическое ожидание. Таким образом, закон распределения случайной величины обладает константой, называемой математическим ожиданием.

Сравним математическое ожидание со средним арифметическим значением случайной величины. Среднее арифметическое значение величины со значениями х_ьх₂, х_п равно.

Если значение х_г появилось т₁ раз, значение х₂ появилось т₂ раз и т. д., где YfKi ^=п> ^то среднее арифметическое будет равно 1=1.

Величина — есть относительная частота события А = {? = x_t}, п

При увеличении числа испытаний п относительная частота вследствие свойства статистической устойчивости частот будет приближаться к соответствующей вероятности р₍. Следовательно, среднее арифметическое значений случайной величины при увеличении числа испытаний будет приближаться к ее математическому ожиданию. Среднее арифметическое становится математическим ожиданием при замене относительной частоты события его вероятностью.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

• 1. МС = С, где С — константа.
• ?Константа С рассматривается как единственное значение случайной величины с вероятностью единица. Поэтому МС = С • 1 = С. ?
• 2. М (С?) = СМ?.
• ?Доказательство основано на возможности выносить константу за знак суммы:

3. Мй + ri) =М% + Мг.

Следствие. M (aq + (ill) = aM?, + (3Mr|, где а, (3 — любые действительные числа.

• 4. М (?, г|) = ML,? Mri, если ?, и Г| независимы.
• ? В силу независимости случайных величин вероятность PyQc, yj) можно представить в виде произведения р Слг_г)р (у,). Получим

Замечание 4.4. Математическое ожидание определено не только для конечного числа испытаний. Множество значений случайной вели;

оо чины может быть бесконечным, но счетным: М?, =.

i=i.

Также определяется математическое ожидание от функций случайных величин.

П

Пусть л = ср®. Тогда Мц = '?$.х₁)р₁.

i=i.

Пусть л = ср ®, У. Тогда Мп = ХХф^.>Т;)Ру;

< )

Замечание 4.5. Происхождение понятия математического ожидания относится к XVIII в. В азартных играх ожидаемый выигрыш игрока, рав;

П

ный Y.^xiPi Дл^я возможных выигрышей х_ь х₂, …, х_п и соответствующих.

i=i.

вероятностей р_ь р₂, …, р_п, был назван математическим ожиданием.