Элементы теории корреляции

Статистические и корреляционные зависимости

Зависимость случайной величины У от случайной величины X называется статистической (стохастической)* если каждому значению величины X из множества всех ее допустимых значений соответствует не какое-то определенное, а множество допустимых значений переменной У, причем сказать заранее, какое именно значение примет зависимая величина У, нельзя. В соответствии с этим определением величина У является случайной при каждом выбранном значении X.

Если при статистической зависимости между случайными величинами X и У при изменении значения х величины X меняется среднее значение у_х величины У, то говорят, что существует корреляционная зависимость (зависимость в среднем) У от X. Иными словами, корреляционная зависимость между двумя случайными величинами X и У — функциональная зависимость между значениями X и средними значениями у_х величины У.

Примером корреляционной зависимости является зависимость между урожайностью У зерна и количеством X внесенных удобрений, так как с изменением количества удобрений X изменяется и средний урожай у_х, т. е. математическое ожидание величины У изменяется при изменении значения X. Вместе с тем средний урожай у_х зависит от ряда случайных факторов (осадки, температуры, сельскохозяйственных вредителей и т. п.), поэтому в отдельных наблюдениях количеству X удобрений соответствует не одно, а множество значений средней урожайности у_х зерна. Следовательно, несмотря на общую тенденцию, справедливую для средних, нет никаких оснований утверждать об однозначной зависимости между величинами X и У.

Функцией регрессии У на X называется условное математическое ожидание М (У/Х=х) случайной величины У при условии, что случайная величина X приняла значение х.

Корреляционную зависимость У от X можно описать с помощью уравнения вида где M (Y IX = х) — условное математическое ожидание величины У, /О) — некоторая функция.

Функциональная зависимость (8.1) называется уравнением регрессии У наХ, а ее график —ломаной линией регрессии.

Корреляционная зависимость У от X может быть из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная и ряда других.

Пусть функция Дат) в уравнении (8.1) линейная, тогда генеральное уравнение линейной регрессии У на А" принимает вид.

где А и В — некоторые параметры.

В этом случае корреляционная зависимость У от X называется линейной; линия регрессии при этом прямая.