Формы представления импульсов

Импульсы или их последовательность можно описать в графической, аналитической и спектральной формах представления.

Графическую форму представления импульсов (см. рис. I. I) можно наблюдать на экране осциллографа. Любой импульс можно представить в следующих аналитических формах.

I. Видеоимпульсы прямоугольной формы:

где и (() — изменение напряжения; 1/_шх — максимальное значение напряжения; / — текущее время; /, — время начала импульса; /₂ —• время окончания импульса.

2. Видеоимпульсы экспоненциальной формы:

где ехр — основание натурального логарифма; а — коэффициент, характеризующий скорость изменения напряжения.

3. Видеоимпульсы треугольной формы:

4. Радиоимпульсы колоколообразной формы:

где /₀ — постоянная величина, равная половине протяженности импульса, определяемого на уровне 0,7 U_m3X.

5. Радиоимпульсы прямоугольной формы:

где со — циклическая частота колебаний.

Спектральная форма описания импульсов основана на известной в математике теореме Фурье о том, что всякая функция изменения во времени может быть представлена рядом гармонических колебаний:

где Aq — постоянная составляющая сигнала; А_к и В_к — коэффициенты, характеризующие амплитуды гармонических колебаний с циклической частотой со*; к и п — порядковый номер гармоники и общее число гармоник соответственно. Коэффициенты А₀> А_к и^{определяются} по следующим формулам:

Таким образом, зная функцию импульса, можно математически определить набор характерных частот и амплитуд гармонических сигналов, из которых он формируется. И наоборот, по такому набору можно восстановить функцию.

В общем случае полный спектр 5(ш) функции времени u (t) определяется с помощью интеграла Фурье:

где ехр (-усо/) = cos со/ + y’sinco/ — комплексная функция гармонических колебаний; у = 7¹ — обозначение ее мнимой части.

Эта формула позволяет рассчитать амплитудные распределения гармонических составляющих от частоты, т. е. получить спектральное распределение.

По спектральному распределению 5(ш) можно восстановить функцию u (t) с помощью обратного преобразования Фурье:

Между прямым и обратным преобразованием Фурье существует взаимно однозначное соответствие.

б.

Рис. 1.2. Спектральные функции: а — одиночного импульса; б — импульсной последовательности Спектр одиночного импульса длительностью т и амплитудой t/_max можно представить огибающей функцией:

Первый минимум функции ?(со) соответствует частоте со, = = 2я/т (рис. 1.2). Учитывая, что 70% мощности приходится на спектральную область отсо,/2 до +со,/2, получим выражение для спектральной полосы одиночного импульса Дсо, измеренной по уровню 0,7 от максимума 5(со):

Следовательно, чем короче импульс, тем шире спектральная полоса сигнала и наоборот, чем больше длительность импульса, тем уже спектральная полоса сигнала.

Спектральная функция последовательности импульсов с длительностью т, амплитудой U_max и периодом Т имеет вид набора спектральных составляющих (см. рис. 1.2, б). Первая гармоника имеет частоту ш, = 2л/7″, последующие являются кратными первой со"= 2пп/Т, где п — номер гармоники. Амплитуда гармоник меняется по закону спектрального распределения одиночного импульса с длительностью т.