Решение уравнений с одной неизвестной

Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения

Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде.

(x) = g (x),.

где (x) и g (x) — данные функции, определенные на некотором числовом множестве Х, называемом областью допустимых значений уравнения. Уравнение с одним неизвестным можно записать в виде.

f (x) = 0.

Совокупность значений переменной х, при котором уравнение превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности, называется корнем уравнения. Решить уравнение — это значит найти множество всех корней этого уравнения. Оно может быть конечным или бесконечным. Если в запись уравнения входят только алгебраические функции, то уравнение называется алгебраическим.

Алгебраическое уравнение может быть приведено к виду:

.

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

• 1) отделение корней;
• 2) уточнение корней до заданной точности.

Корень уравнения f (x) = 0 считается отделенным на отрезке [a, b], если на этом отрезке уравнение f (x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни — это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней — в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x3 — 3x + 2 = 0 имеет три корня: x1 = -2; x2 = x3 = 1). Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f (x) имеет точку перегиба (например, уравнение x3 — 3×2 + 3x — 1 = 0 имеет корень x1 = x2 = x3 = 1).

Аналитический метод отделения корней. Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует по крайней мере один корень уравнения f (x) = 0.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] содержится корень уравнения f (x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения f (x) = 0 и притом единственный.

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

• 1) Найти f '(x) — первую производную.
• 2) Составить таблицу знаков функции f (x), полагая х равным:
  • а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;
  • б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).