Релятивистское выражение для импульса

Ранее (в п.п. 3.6) было показано, что уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Однако, по отношению к преобразованиям Лоренца они оказываются не инвариантными.

В частности, нс инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, вытекающий из законов Ньютона, закон сохранения импульса.

Последнее утверждение можно проиллюстрировать, рассмотрев, например, как выглядит в системах К и К' абсолютно неупругий удар двух одинаковых шаров (частиц) массы т.

Пусть в системе К шары движутся навстречу друг другу вдоль оси х с одинаковыми по величине скоростями и. Движущаяся система отсчета К' скреплена с одним из шаров и, следовательно, движется со скоростью и относительно неподвижной СО К, например, в направлении, совпадающем с направлением оси х. Используя закон преобразования и сложения скоростей в релятивистской механике, можно получить, что в системе К' суммарный импульс системы тел до столкновения равен:

• -2 mu _
• -5-, а после столкновения равен: —2пю.

Здесь и относительная скорость движения систем отсчета К и К'.

Таким образом, один из основных законов механики — закон сохранения импульса в ньютоновской формулировке нс инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца.

Как оказалось, веденное нами выражение для импульса (9.1.1), которое использовалось для записи основного уравнения динамики в СТО, обеспечивает инвариантность закона сохранения импульса, по отношению к преобразованиям Лоренца, при любых по величине скоростях.

Рассмотрев, например, абсолютно упругий удар частиц с массами т, и т_г в системах К и К' и используя определение импульса в виде (9.1.1), можно доказать инвариантность закона сохранения импульса по отношению к преобразованиям Лоренца (см. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1).

Попробуем получить это релятивистское выражение. При этом мы будем исходить из того, что при малых скоростях (и справедливо ньютоновское выражение для импульса.

При и с собственное время частицы dx практически не отличается от времени dt, отсчитанного по часам системы, в которой рассматривается движение частицы, поэтому это выражение можно представить в виде:

где с/т — собственное время частицы, для которой вычисляется импульс.

(Ранее отмечалось: собственное время является инвариантом, то есть не зависит от того, в какой системе отсчета наблюдается движение данного тела).

Промежуток времени с/т в отличие от d/ является инвариантом.

Заметим, что в выражении (9.2.1) dr — перемещение частицы в той системе отсчета, в которой определяется р; с/т — промежуток времени, отсчитываемый по часам, движущимся вместе с частицей.

Получим теперь выражение для импульса через время t той системы отсчета, относительно которой наблюдается движение тел.

Входящая в формулу (9.1.1) масса т представляет с собой инвариантную и, следовательно, не зависящую от скорости тела величину, которую называют массой покоя.

. _ ши Итак, р =, и при и «с, р = ти.

И