Параллельные проекции и их основные свойства

Параллельное проецирование (рис. 1.6) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность (S_?). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проек;

Рис. 1.6.

ций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными. в остальных случаях — косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом к плоскости проекций ).

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

Если прямые MN и KL (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости и параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: - по условию,.

Рис. 1.7.

. Следовательно, проекции и параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей р и у с плоскостью л.

Отметим на прямой MN произвольный отрезок А В и на прямой KL произвольный отрезок CD. Проведем в плоскости р через точку А прямую и в плоскости у через точку С прямую С — . Отрезки как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки и, следовательно, . Отрезки , так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников и следует:

Из рассмотренного следует:

а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8):

б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (см. рис. 1.7) при будет . Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

• 2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.
• 3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Рис. 1.8.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проецирования, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция D0 точки D показана на рис. 1.9.

Наряду со свойствами параллельных (косоугольных) проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство: ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны.

На рис. 1.10 Докажем, что

Проецирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций , проекции и прямой ВА. Плоскость ) перпендикулярна прямой ВА, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( - по условию, а по построению). Проекция перпендикулярна плоскости , так как . Следовательно, проекция плоскости на плоскости - прямая KL перпендикуляпна пооекции , а с прямой KL совпадает проекция В °С0, т. е. что и требовалось доказать.

Рис. 1.9.

Рис. 1.10.

Соответственно при имеем

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием. К ним в первую очередь относятся простота геометрических построений ортогональных проекций точек и сохранение на проекциях при определенных условиях формы и размеров проецируемой фигуры.

Указанные преимущества обеспечили применение ортогонального проецирования для разработки чертежей во всех отраслях промышленности и в строительстве.