Заключение. 
Метод максимального правдоподобия и его модификации

Итак, в рамках дипломного проекта автором был разработан программный модуль, реализующий метод максимального правдоподобия в модели факторного анализа. Этот модуль по выборочной корреляционной матрице признаков вычисляет значения нагрузочной матрицы и матрицы остаточных дисперсий, которые максимизируют правдоподобие данной выборочной корреляционной матрицы. Кроме того, были реализованы метод определения числа общих факторов, основанный на критерии значимости и эмпирический метод определения числа общих факторов, основанный на величине приращения объясняемого среднеквадратического отклонения, который в дальнейшем был использован при работе с реальными данными.

Кроме того, был предложен способ адаптации традиционного метода максимального правдоподобия для работы с признаками, связанными нелинейными типами зависимости. Этот способ заключается в замещении выборочного коэффициента корреляции признаков на другие меры связи — коэффициент ранговой корреляции Спирмена и коэффициент Крамера, которые являются более информативными для нелинейно зависимых случайных величин.

Для сравнения качества работы традиционного метода правдоподобия и двух его модификаций, автором было формализовано понятие эффективности этих методов. Исходя из этого понятия, эффективность методов была сравнена как на искусственно смоделированных признаках, связанных различными типами зависимости, так и на реальных данных.

Результаты этого сравнения для искусственно смоделированных данных оказались следующими. Традиционный метод максимального правдоподобия хорошо работает в случаях, когда признаки связаны линейными зависимостями и теми, которые хорошо приближаются линейными. В том числе он оказывается эффективным и для большинства зависимостей монотонного типа, поскольку они тоже могут быть приближены линейными функциями, пусть и менее точно. Для зависимостей немонотонного типа этот метод не работает.

Второй метод хорошо работает для любых зависимостей монотонного типа. Причем, с точки зрения степени эффективности, он не отличается от традиционного метода. На зависимостях немонотонного типа он тоже не работает.

Третий метод удовлетворительно работает как на монотонных, так и на немонотонных типах зависимости, однако на монотонных уступает двум другим методам в эффективности.

Учитывая, что традиционный метод максимального правдоподобия оказался совершенно неэффективным для немонотонного типа зависимости, а метод, использующий коэффициенты Крамера, справился с этим типом зависимости вполне успешно, можно сделать вывод, что автору данного дипломного проекта удалось адаптировать традиционный метод максимального правдоподобия для работы с нелинейно зависимыми признаками.

Результаты экспериментов с реальными данными оказались следующими. Каждым из трех методов удалось добиться снижения размерности исследуемых данных. Следовательно, все три метода применимы для решения реальных практических задач. Наиболее эффективным признан метод, использующий коэффициенты ранговой корреляции Спирмена, следующим по эффективности — традиционный метод максимального правдоподобия, и наименее эффективным — метод, использующий коэффициенты Крамера.

Однако если отказаться от формального понятия эффективности, и сравнивать качество работы методов на реальных данных, исходя из здравого смысла, то, возможно, метод использующий коэффициенты Крамера тоже превосходит традиционный метод максимального правдоподобия.

В любом случае, метод, использующий коэффициенты ранговой корреляции Спирмена, оказывается эффективнее традиционного метода. Таким образом, можно сделать вывод, что автору данного данной работы удалось с помощью модификаций повысить эффективность традиционного метода максимального правдоподобия для решения реальных практических задач, что означает выполнение основной задачи дипломного проекта.