Особые точки. 
Классификации особых точек

Точка называется особой точкой f (z), если в области.

функция f (z) является аналитической, а в точке аналитичность нарушается. В основу классификации изолированных особых точек лежит либо вид разложения функции f (z) в ряд Лорана, либо поведение функции f (z) в окрестности этой особой точки. Дадим классификацию особых точек в зависимости от поведения функции в ее окрестности.

Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел:

Назовем изолированную особую точку полюсом, если, то есть модуль функции f (z) при .

Изолированная особая точка называется существенно особой точкой, если не существует .

Из определения особой точки типа полюс в точке следует, что если функция f (z) имеет полюс в точке, то функция.

в точке равна нулю. И эта функция аналитична в точке, а это означает что .

Справедливо и обратное, если точка является нулем функции g (z), то функция.

имеет в этой точке полюс. Будем называть порядком полюса порядок нуля в точке функции.

.

Для того, чтобы точка была полюсом порядка k, разложение функции f (z) в точке имела вид:

Или ту же самую функцию f (z) в точке можно представить следующим образом:

Где функция аналитична в точке и не равна нулю в этой точке.