Тензорная запись уравнений Эйлера. 
Тензор плотности потока импульса

Определим скорость изменения импульса единицы объема жидкости. Воспользуемся тензорными обозначениями.

.

Из уравнения неразрывности имеем .

Воспользуемся уравнениями Эйлера, записанными в тензорной форме.

.

Таким образом получаем.

Член с давлением запишем в виде .

Уравнения количества движения принимают вид.

.

где тензор определяется как.

.

Выясним физический смысл тензора. Проинтегрируем уравнение количества движения по некоторому объему.

.

Преобразуем интеграл в правой части в интеграл по поверхности.

.

Слева стоит изменение в единицу времени i — той компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому интеграл по поверхности в правой части есть количество импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность.

Следовательно, есть i — тая компонента импульса, протекающая через элемент поверхности.

Тензор называют тензором плотности потока импульса.

Тензор плотности потока импульса для вязких течений

Плотность потока импульса, определяемая соотношением.

.

представляет собой обратимый процесс переноса импульса, связанный с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления.

Вязкость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.

Поэтому уравнения движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к «идеальному» потоку импульса дополнительный член, определяемый необратимый, «вязкий» перенос импульса в жидкости.

Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде.

.

Тензор

называют тензором напряжений, а — вязким тензором напряжений. определяет ту часть потока импульса, которая не связана с непосредственным переносом импульса вместе с массой передвигающейся жидкости.

Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому должно зависеть от производных скорости по координатам. Если градиенты скорости по координатам не очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости.

Зависимость от производных можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от члены должны отсутствовать в выражении для, поскольку должно обращаться в нуль при. должно обращаться в нуль также в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку при таком движении внутреннее трение не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью скорость равна векторному произведению. Линейными комбинациями производных, обращающимися в нуль при, являются суммы .

Поэтому должно содержать именно эти симметричные комбинации производных .

Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетворяющего этим требованиям, является.

.

с не зависящими от скорости коэффициентами и. Величины и называются коэффициентами вязкости (причем часто называют второй вязкостью).