Математические методы управления проектами

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01; и 9,45 т молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машиночаса. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машиночасов, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение — в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30,22 и 136 руб. завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.

Требуется определить объемы выпуска молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль. К чему приведет задание по выпуску кефира в объеме не менее 10 т?

На основе исходных данных составим таблицу 1.

Таблица 1

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х1, Х2, Х3 объемы производства соответствующего вида продукции, соответственно молоко, кефир, сметана.

Целевая функция — это математическая запись критерия оптимальности, т. е. выражение, которое необходимо макcимизировать.

f (x) = 30Х1 + 22Х2 + 136Х3.

Ограничения по ресурсам:

• 1,01Х1 + 1,01Х2 + 9,45Х3? 136
• 0,18Х1 + 0, 19Х2? 21,4
• 3,25Х3? 16,25

Х1? 100.

Х1, Х2, Х3? 0.

Решение.

Приведем подробное описание технологии получения решения приведенной ЗЛП.

Обозначим: М1 — один щелчок левой кнопкой мыши;

М2 — двойной щелчок левой кнопкой мыши.

Прежде чем приступить к решению задачи студенту необходимо на сервере создать папку под своим именем. Порядок работы:

На рабочем столе найдите пиктограмму «Сетевое окружение» > М1;

Двойным щелчок мыши открывайте пиктограмму «Для документов» .

Двойным щелчком мыши открывайте пиктограмму «Для студентов» .

В папке с фамилией ведущего преподавателя создайте папку под своей фамилией.

Далее необходимо последовательно выполнить следующую работу:

1. Создать форму для ввода условий задачи. Запустите Excel, выбрав Microsoft Excel из подменю программы главного меню Windows. Открывается чистый лист Excel. Создайте текстовую форму — таблицу для ввода условий задачи. (рис. 1.1).

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

• 2. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки). Обозначьте через Х1, Х2, Х3 количество молочной продукции каждого типа. В нашей задаче оптимальные значения компонент вектора Х = (Х1, Х2, Х3) будут помещены в ячейках B3: D3, оптимальное значение целевой функции — в ячейке Е4.
• 3. Ввести исходные данные задачи в созданную форму — таблицу, представленную на рис. 1.2.

Порядок составления таблицы следующий.

В строке Меню указатель мыши на имя Файл > М1. В развернутом меню команда Сохранить как > М1. Появляется диалоговое окно Сохранение документа. Путем перебора папок в строке Папка должна быть установлена папка с фамилией студента. Далее курсор переведите в строку Имя файла и присвойте ему имя. Далее нажать кнопку Сохранить.

4. Ввести зависимость для целевой функции:

Курсор в ячейку Е4.

Курсор на кнопку «Мастер функций», расположенную на панели инструментов.

М1. На экране появится диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2 (Рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

Курсор в окно «Категория» на категорию Математические;

М1;

Курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ;

М1. На экране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ (Рис. 1.4);

В строку «Массив 1» ввести B$ 3: D$ 3;

В строку «Массив 2» ввести В4: Е4;

Кнопка «ОК». На экране: в ячейку Е4 введена функция (Рис. 1.5).

Рис. 1.5.

5 Ввести зависимости для ограничений:

Курсор в ячейку Е4;

На панели инструментов кнопка Копировать в буфер > М1;

Курсор в ячейку Е7;

На панели инструментов кнопка Вставить из буфера > М1;

Курсор в ячейку Е8;

На панели инструментов кнопка Вставить из буфера > М1;

Курсор в ячейку Е9;

На панели инструментов кнопка Вставить из буфера > М1;

Курсор в ячейку Е10;

На панели инструментов кнопка Вставить из буфера > М1 (Рис. 1.5.1).

Рис. 1.5.1.

В строке Меню указатель мыши на Поиск решения > М1. Появляется диалоговое окно Поиск решения (рис. 1.6).

Рис. 1.6.

6. Назначить целевую функцию (установить целевую ячейку):

Курсор в строку Установить целевую ячейку;

Введите адрес ячейки $E$ 4;

Введите направление целевой функции в зависимости от условия вашей задачи — максимальному значению или минимальному значению;

Курсор в строку изменяя ячейки;

Введите адреса искомых переменных: B$ 3: D$ 3.

7. Ввести ограничения:

Указатель мыши на кнопку Добавить > М1. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения (Рис. 1.7).

В строке ссылка на ячейку введите адрес $E$ 7;

Введите знак ограничения ?;

В строке ограничение введите адрес $G$ 7;

Указатель мыши на кнопку Добавить > М1. На экране вновь появится диалоговое окно Добавление ограничения (Рис. 1.7).

Введите остальные ограничения задачи по вышеописанному алгоритму;

Поле введения последнего ограничения кнопка ОК.

Рис. 1.7.

На экране появится Поиск решения с введенными условиями (Рис. 1.8).

Рис. 1.8.

8. Ввести параметры решения ЗЛП:

В диалоговом окне указатель мыши на кнопку Параметры. На экране появляется диалоговое окно Параметры поиска решения (Рис. 1.9).

Рис. 1.9.

Установите флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения;

Указатель мыши на кнопку ОК. на экране появится диалоговое окно Поиск решения;

Указатель мыши на кнопку Выполнить.

Через непродолжительное время появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками B3: D3 для значений Xi и ячейка Е4 с максимальным значением целевой функции (Рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Полученное решение означает, что максимальный доход 3795,81 руб. городской молочный завод может получить при выпуске и реализации 118,89 тонн молока и 1,68 тонн сметаны. При этом ресурсы молоко и машиночасы будут использованы полностью, а автомат-часы будут использованы только 5,48 из 16,25 ч. При таком плане выпуска молочной продукции выполнится условие ежедневного выпуска молока не менее 100 тонн.

9. Для того, чтобы определить к чему приведет задание по выпуску кефира в объеме не менее 10 т при существующих условиях задачи введем дополнительно еще одно ограничение по выпуску кефира.

Таблица с данными изменится (рис. 1.11).

Рис. 1.11.

Добавим ограничение по выпуску кефира (Рис. 1.12):

Рис. 1.12.

Нажмем ОК и в появившемся диалоговом окне Поиск решения нажмем Выполнить и сохраним найденные значения (Рис. 1.13).

Рис. 1.13.

Через непродолжительное время появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками B3: D3 для значений Xi и ячейка Е4 с максимальным значением целевой функции (Рис. 1.14).

Рис. 1.14.

Полученное решение означает, что максимальный доход 3707,81 руб. городской молочный завод может получить при выпуске и реализации 108,33 тонн молока, 10 тонн кефира 1,74 тонн сметаны. При этом ресурсы молоко и машиночасы будут использованы полностью, а автомат-часы будут использованы только 5,67 из 16,25 ч. При таком плане выпуска молочной продукции выполнится условие ежедневного выпуска молока не менее 100 тонн и кефира не менее 10 тонн.