Теплопроводность вещества. 
Методы решений линейных и нелинейных уравнений теплопроводности

Если тело нагрето неравномерно или же в нем происходит выделение энергии, появляется поток тепла, переносимый путем теплопроводности. Теплопроводность способствует распространению энергии и выравниванию температуры. Наряду с градиентами температуры, вообще говоря, возникают и градиенты давления, благодаря чему вещество приходит в движение. Во многих случаях гидродинамический перенос энергии преобладает над теплопроводностным. Однако часто движение и гидродинамический перенос энергии несущественны и тепло от источников распространяется только путем теплопроводности. При невысоких температурах механизмом переноса тепла является обычная теплопроводность вещества.

При обычной теплопроводности тепловые возмущения распространяются в среде сравнительно медленно (в дальнейшем это будет показано на примере газа). Небольшие возмущения давления распространяются со звуковой скоростью, за счет некоторого перераспределения плотности, и давление выравнивается гораздо скорее, чем температура. Если изменения температуры в среде невелики, скорости движения вещества гораздо меньше скорости звука и при изучении распространения тепла путем теплопроводности движением вещества часто можно пренебречь, считая, что процесс происходит при постоянном давлении.

Уравнение баланса энергии при этом имеет вид где — плотность, которую приближенно можно считать постоянной, — удельная теплоемкость при постоянном давлении, — вектор потока тепла, — энерговыделение ввза счет посторонних источников.

Теплопроводностный поток тепла в первом приближении пропорционален градиенту температуры:

где — коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества. Подставляя выражение (10.2) в уравнение баланса энергии (10.1), получим общее уравнение теплопроводности, которое описывает температуру среды в зависимости от координат и времени: