Правила большинства. 
Математические методы в экономике

Для задачи группового решения (Х= {х₁,…, х_n}, { }_i€M) приведем аксиоматические определения различных правил большинства, из которых простое большинство и большинство в две трети являются наиболее часто применяемыми.

Простое большинство. Для любых х_j, х_k €X (через n (х_j, х_k) обозначим число экспертов, строго предпочитающих альтернативу х_j альтернативе х_k, т. е. число элементов множества {i: х_j х_k }).

Правило группового решения? называется правилом простого большинства, если для всех х_j, х_k €X.

х_j> х_k n (х_j, х_k) > n (х_k, х_j),.

х_j? х_k n (х_j, х_k) = n (х_k, х_j).

Данное правило группового решения удовлетворяет следующим аксиомам:

Б1. Определенность. При любом наборе индивидуальных предпочтений правило указывает групповое предпочтение для каждой пары альтернатив.

Б2. Анонимность. Предпочтение? не зависит от обозначений индивидов, т. е. не меняется от перестановки индивидов.

БЗ. Нейтральность. Предпочтение? не зависит от обозначений альтернатив, т. е. для любой перестановки? множества X из х_j?х_k следует? х_j? ?х_k и наоборот.

Б4. Положительная реакция. Если для некоторого набора индивидуальных предпочтений получается х_j ?х_k, а другой набор отличается от него лишь тем, что некоторый индивид изменяет свое предпочтение между х_j и х_k в пользу х_j, то при новом наборе предпочтений должно получиться х_j > х_к.

Кратко сформулированный смысл приведенных аксиом состоит в следующем. Аксиома определенности обеспечивает результативность соответствующих правил. Аксиомы анонимности и нейтральности иногда используются при принятии решений под названиями симметрии, равноценности и т. п. Аксиома положительной реакции является более сильным вариантом правила положительной связи групповых и индивидуальных предпочтений 2 (в правиле 2 из х_j ?х_k вследствие изменения предпочтений не может получаться х_j > х_к).

Теорема. Правило простого большинства является единственным правилом, удовлетворяющим аксиомам Б1—Б4.

Правила ?-большинства. В случае, когда многие эксперты безразличны к рассматриваемым альтернативам, предпочтение по правилу простого большинства вовсе не означает, что большинство (более половины индивидуумов) высказывают такое предпочтение. Единогласное решение получается иногда при одном «за» и остальных воздержавшихся. Во избежание таких эффектов применяют правила действительного большинства.

Правило группового решения называется правилом ?-большинства (? > ½), если для любых х_j, х_k €X:

Очевидно, в случае, когда все индивидуальные предпочтения строгие, правило простого большинства равносильно правилу ?-большинства при ½ < ?<(n + 1)/(2n).

Для определения правила ?-большинства вместо аксиомы положительной реакции Б4 потребуются аксиома суверенности экспертов 4 и следующая новая аксиома.

Устойчивость. Если для некоторых x_j, x_к € X и некоторого набора { }_i€M имеет место x_j > x_к, x_j > x_к сохранится и для любого другого набора, в котором все соотношения x_j > x_к сохраняются.

Аксиома устойчивости утверждает, что любое строгое групповое предпочтение в пользу x_j определяется индивидуумами, высказывающимися строго в пользу x_j независимо от предпочтений остальных.

Теорема. Правило ?-большинства является единственным правилом групповое решения, удовлетворяющим аксиомам Б1-БЗ, суверенности экспертов 4 и устойчивости.