Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,.

где О — нулевая матрица.

• 2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т. е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А (ВС), и выполняется равенство:
  • (АВ)С=А (ВС).
• 3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т. е. если имеют смысл выражения А (В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А (В + С) = АВ + АС.

• (А + В) С = АС + ВС.
• 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа верно соотношение:
  • (AB) = (A)B = A (B).
• 5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:
  • (АВ)^Т = В^ТА^Т, где индексом Т обозначается транспонированная матрица.
• 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от, А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы, А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А =; В = А^Т=;

другими словами, b_ji = a_ij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)^T = C^TB^TA^T, при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы, А =, В =, С = и число = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T =; A^TB = = =.

C =; А^ТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц, А = и В = .

АВ = =.

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =.

АВ = = = .