Методы преобразования задач оптимального управления, облегчающие их решение

В этой главе дан обзор методов, позволяющих облегчить решение вариационных задач управления за счет замены аргумента, перехода к новым фазовым переменным, замены дифференциальных уравнений интегральными, построения оценочной задачи.

Вводные замечания. Сложность решения задачи оптимального управления существенно изменяется при изменении ее формальной постановки. Действительно, «одна и та же задача может быть формализована разными способами, и простота решения зачастую сильно зависит от того, насколько удачно она формализована»^[1].

Ниже рассмотрено несколько типовых приемов, позволяющих упростить решение задачи за счет перехода от исходной формализации к эквивалентной или почти эквивалентной. Как правило, такой переход связан с трансформацией пространства состояний, а его целью является сокращение размерности этого пространства или замена условий в форме дифференциальных уравнений более простыми.

Пусть исходная задача оптимального управления имеет форму.

при условиях.

Размерность вектор-функции u (t), как правило, не превосходит п, множество V_u — компакт, функции u (t) — кусочно-непрерывные, a х (0 — кусочно-гладкие, функции/и ф непрерывны по и и непрерывно дифференцируемы по х и t.

Оптимальное решение будем обозначать какх*(0, n*(t), а значение задачи — как Г = 1(х^к, и*). В том случае, когда условия, наложенные на искомое решение, и функции, его определяющие, отличны от указанных, мы будем это оговаривать.

Перечислим цели, которых стремятся достичь за счет преобразования исходной постановки.

• 1. Уменьшение размерности задачи п посредством:
  • а) замены исходного аргумента, например времени, одной из переменных состояния;
  • б) перевода части переменных состояния в разряд управлений;
  • в) перехода к новым фазовым переменным, при котором правая часть одного из дифференциальных уравнений тождественно равна нулю.
• 2. Переход к задаче, в которой некоторые из дифференциальных уравнений оказываются такими, что. их правая часть не содержит фазовых координат. Такие уравнения называют ляпуновскими.
• 3. Для линейного дифференциального уравнения переход к эквивалентному интегральному уравнению.
• 4. Переход к задаче, значение которой заведомо больше значения исходной задачи (получение оценки Г сверху), с последующим приближением к полученному решению.

Подчеркнем, что лишь в редких случаях упрощающие преобразования позволяют получить аналитическое решение. Условия оптимальности задачи, в какой бы форме они не были записаны, приводят к необходимости решения тех или иных уравнений. В подавляющем большинстве случаев эти уравнения приходится решать численно.

Рассмотрим подробнее и проиллюстрируем на примерах каждый из перечисленных приемов.

• [1] Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. М. :Наука, 1984.