Регуляризованные алгоритмы оценивания состояния динамических систем

В большинстве процессов управления или многошаговых процедур принятия решения в технических системах имеют место присущие им неопределенности. Эти неопределенности не позволяют точно оценить влияние управляющих воздействий и, следовательно, использовать теорию детерминированного управления. Неопределенности, существующие как в самой системе, так и в наблюдениях, во многих задачах могут быть представлены как стохастические процессы. К каким задачам применимы методы стохастического управления [1,2].

Рассмотрим линейную динамическую систему, описываемую уравнениями.

(1).

(2).

где — вектор состояния объекта в момент времени i+1, — вектор измерений, — соответствующие матрицы динамического объекта; и — нормально распределенные возмущающие воздействия с нулевыми средними и неотрицательно определенными ковариационными матрицами и соответственно.

Для оценивания вектора состояния динамической системы (1), (2) обычно используются традиционные уравнения фильтра Калмана.

Точность оценивания вектора состояния на основе калмановского фильтра существенно зависит от точности задания ковариационных матриц и шума состояния и помехи измерений. В процессе функционирования объекта управления ковариационные матрицы и могут изменяться во времени. Весьма эффективной является концепция идентификационного подхода [1], которая заключается в оценивании в процессе функционирования фильтра априорно неизвестных параметров и последующего их использования в алгоритме динамической фильтрации. В соответствии с этим методом уравнение для вектора состояния, содержащего неизвестные параметры ковариаций и линейно изменяющийся во времени, можно записать в виде:

.

.

В (3) — вектор состояния для фактической матрицы дисперсий прогнозируемой оценки состояния, матрицы дисперсий шума состояния и матрицы дисперсий шума измерений; - вектор шума состояния параметров ковариаций; -переходная матрица этого шума; -переходная матрица состояния.

Модель измерений ковариаций в рассматриваемом случае можно принять в виде.

(4).

где и могут быть определены из векторов невязки в субоптимальном фильтре.

Располагая теперь выражениями (1)-(4) и априорными значениями их параметров для оценивания вектора состояния объекта и параметров ковариаций можно применить один фильтр к исходной системе (1), (2), а другой — к системе уравнений для ковариаций (3), (4), используя невязки первого фильтра как данные для оценки параметров ковариаций в исходной системе.

Для оценивания вектора состояния можно также использовать метод расширения. В соответствии с этим методом формируются уравнения вида:

, , ,.

Оценки векторов, и здесь также можно получить по методу наименьших квадратов с помощью одного фильтра и оценки матриц и с помощью другого фильтра, поскольку шумы расширенного состояния и измерений имеют теперь нулевые средние значения.

При решении рассматриваемой задачи возможны ситуации, когда возмущающие воздействия могут быть коррелированы между собой. В этой связи возникает необходимость разработки алгоритмов вычисления вектора состояния при взаимно коррелированных шумах в рамках рассматриваемой двухуровневой схемы динамического оценивания. Будем предполагать, что выполняются следующие помехо-сигнальные условия:

.

.

и условия аппроксимации вида:

.

где и — истинные значения матрицы Н и вектора z.

Тогда, следуя [1,2], можно показать, что в сформулированных выше условиях задача оценивания вектора состояния в k-й момент времени эквивалентна задаче решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

(5).

Где.

.

.

.

.

.

— точностной вектор. В (5) предполагается, что матрица существует.

При решении системы (5) необходимо использовать методы регуляризации [3,4]. Это обусловлено тем обстоятельством, что непосредственное решение уравнения (5) приводит к его численной неустойчивости, проявляющуюся в том, что малые погрешности в исходных данных могут вызвать конечные, но неприемлемые по величине ошибки решения. Это и заставляет при решении (5) использовать регулярные методы.

Традиционный способ регуляризации решения уравнения (5) состоит в том, что вместо (5) решается система алгебраических уравнений вида:

.

Матрица этой системы положительно определена для, и поэтому для любого вектора измерений существует единственная оценка. Параметр регуляризации в рассматриваемом случае может быть определен, например, на основе принципа обобщенной невязки [3].

В предположении, что корреляционная матрица шума измерения задана и вектор шума измерения нормально распределен, параметр регуляризации может быть вычислен как корень нелинейного уравнения:

.

Здесь также может быть использован алгоритм вида:

.

Где.

.

В случае, если корреляционная матрица шума измерения неизвестна, то целесообразно при выборе параметра регуляризации использовать метод перекрестной значимости [4]. В соответствии с этим методом рассматривается функционал вида:

(6).

где — индекс следа матрицы.

В качестве параметра регуляризации, определяемого обобщенным методом взаимной значимости, принимается значение, доставляющее минимум функционалу (6).

В случае, когда дисперсия шума измерения неизвестна, но его корреляционная матрица известна с точностью до дисперсии, т. е., где — нормированная корреляционная матрица. В этом случае параметр регуляризации может быть вычислен на основе уравнения вида.

Где.

.

Таким образом, при построении регуляризованного решения уравнения (5) имеется возможность выбрать тот или иной способ определения параметра регуляризации в зависимости от полноты и формы задания априорной информации о шуме измерения.

Приведенные выше соотношения позволяют адаптировать алгоритмы оценивания вектора состояния динамических объектов к реальным помехосигнальным условиям, обусловленным априорной неопределенностью, и тем самым повысить точность определения вектора настроек регулятора.

• 1. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К. Т. Леондеса. Пер. с англ., — М.: Мир, 1980. — 407 с.
• 2. Кузнецов Е. С. Управление техническими системами: Учебное пособие / МАДИ (ТУ) — М.: 2001. — 262 с.
• 3. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Итерационные методы решения нерегулярных уравнений.- М.: Ленанд, 2006. — 214 с.
• 4. Воскобойников Ю. Е., Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука, 1984.-240с.