Моделирование при решении задач на движение

Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач, в частности задач на движение. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. Моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить в школе должное внимание, так как математические модели используются для решения (или хотя бы облегчения решения) сюжетных задач. Кроме того, при построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствуют его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности.

. Все задачи на составление уравнений можно решать по схеме:

• 1. Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.
• 2. Выявление оснований для составления уравнения.
• 3. Составление уравнения.
• 4. Решение уравнения.
• 5. Исследования корней уравнения.
• 6. Запись ответа.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач «на движение». «Движение является темой для самых разнообразных задач. Существует самостоятельный тип задач «на движение».

В задачах данной темы считается, что движение является равномерным. Это значит, что объекты движутся с постоянными скоростями. Скоростью называется расстояние, пройденное за единицу времени. Многие величины в математике имеют специальные обозначения. В частности, общепринято, что путь обозначается буквой S;

скорость — буквой V;

время — буквой t.

(расстояние равно скорости, умноженной на время).

Это равенство называется формулой пути. Оно устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта.

Из формулы пути (по правилу нахождения неизвестного множителя).

следует, что.

V=S:t (скорость равна расстоянию, деленному на время движения),.

t=S:V (время движения равно расстоянию, деленному на скорость).

Рассмотрим особенности решения основных видов задач «на движение» в курсе математики 5 класса.

1. Задачи на встречное движение двух тел.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁; движение второго — s₂, v₂, t₂. Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

При решении задач на встречное движение существенной характеристикой является скорость сближения движущихся объектов. Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения. При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей движущихся объектов то есть.

V _сбл.= V₁+ V₂.

Если два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т. е. t₁= t₂= t _встр или как говорят время сближения t_сбл

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: S= V _{сбл *} t_сбл..

2. Задачи на движение двух тел в одном направлении.

«Среди них следует различать два типа задач:

• 1) движение начинается одновременно из разных пунктов;
• 2) движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁, а движение второго — s₂, v₂, t₂.Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстоянии v₁— v₂. Это расстояние называют скоростью сближения: v _сбл.= v₁— v₂.

Расстояние S, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

• S = s₁ — s₂ и S = v _{сбл *} t_встр.
• 3. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

«В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время» .

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

v _удал. = v₁+ v₂,.

где v₁ и v₂ соответственно скорости первого и второго тел, а v _удал — это скорость удаления, то есть расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

4. Задачи на движение по реке.

В задачах на движение по реке есть своя особенность. Существует собственная скорость объекта (v_{собственная}) — это скорость движения в стоячей воде, и также существует скорость течения реки (v_{течения},), которую необходимо учитывать. При этом возникает скорость движения по течению (v _{по течению)} и скорость движения против течения (v _{против течения)}:

v _{по течению} = v_{собственная}+ v_{течения},.

v _{против течения} = v_{собственная}— v_{течения},.

Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи. Использование графических изображений способствует сознательному и прочному усвоению многих понятий. Благодаря им, математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем, чертежей, помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: заставляют любоваться неожиданным, остроумным графическим решением задачи, стимулируют поиски рациональных путей решения, снижают утомляемость, повышают активность, воспитывают внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условии задачи закономерности, на которых основано решение. Графические изображения служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим средством для проверки знаний учащихся. Также графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на моделях легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу. Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения.

Таким образом, использование модели при решении задач обеспечит качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения; выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления.