Оценка параметров отдельного уравнения

X^l — Nk_l-матрица наблюдений за изучаемыми переменными x^l, входящими в l-е уравнение;

X_l — N-вектор-столбец наблюдений за l-й переменной x _l;

— N (k_l1)-матрица X^l без столбца X_l наблюдений за ;

^l — k_l-вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;

_l — (k_l1)-вектор-столбец ^l с обратным знаком и без l-го элемента (без элемента _ll = 1);

Z ^l — N (n _l+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами z^l, входящими в l-е уравнение;

_l — (n _l+1)-вектор-столбец параметров при этих факторах;

_l — N-вектор-столбец остатков _l в l-м уравнении по наблюдениям;

или — l-е уравнение регрессии.

Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные оценки.

Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов. С помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения. Можно записать уравнения для этой оценки. Действительно, условия эквивалентны.

.

где — k_lk-матрица, полученная из I_k вычеркиванием нужных строк;

— аналогичная (n _l+1)(n+1)-матрица для A_l.

Тогда для B_l и A_l, удовлетворяющим требуемым условиям, выполняется следующее:

.

и требования WH_l = 0 можно записать в форме (переходя к обозначениям оценок соответствующих величин).

(т.к. и).

или ,.

где (n+1)-вектор-столбец (l-й столбец матрицы D);

(n+1)(k_l1)-матрица (матрица, составленная из столбцов матрицы D, соответствующих переменным).

Это — система уравнений для нахождения искомых параметров. Она имеет единственное решение в случае точной идентификации уравнения, т. е., если ее матрица.

квадратна, размерности n+1 и не вырождена (необходимое и достаточное условие точной идентификаци уравнения).

Для сверхидентифицированного уравнения можно применить двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.

На 1-м шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы для переменных :

.

где V^l — N (k_l-1)-матрица остатков по уравнениям;

и определяются расчетные значения этих переменных («очищенные» от ошибок):

.

На 2-м шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:

.

Можно определить единый оператор 2М-оценивания. Поскольку.

и ,.

этот оператор записывается так (1-я форма оператора):

.

или в более «прозрачной» — 2-й форме (учитывая, что):

.

Если уравнение не идентифицировано, то обращаемая матрица в данном операторе вырождена. Если уравнение точно идентифицировано, то 2М-оценка совпадет с КМ-оценкой.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть b^l в уравнении X ^lb^l = Z ^la _l + e _l оценено, и X ^lb^l рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

.

.

.

Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна.

где .

Тогда b^l должны были бы быть оценены так, чтобы.

.

(иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные).

Решение этой задачи приводит к следующим условиям:

.

из которых f находится как минимальный корень соответствующего характеристического уравнения, а b^l определяется с точностью до постоянного множителя (с точностью до нормировки b_ll = 1).

В общем случае f > 1, но. Если данное уравнение точно идентифицировано, то f = 1, и МНДО-оценки совпадают с КМи 2М-оценками.

Оператор

позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k — количеством эндогенных переменных в системе).

При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения; при k = 1, это — 2М-оценки; при k = f, — МНДО-оценки. 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНКи МНДО-оценками (т.к. f > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.