Факторный анализ. 
Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов

Сущность факторного анализа

Факторный анализ — статистический метод, используемый для описания с достаточной точностью взаимного изменения довольно большого числа коррелированных наблюдаемых переменных с помощью достаточно малого числа ненаблюдаемых (скрытых, латентных) переменных, называемых факторами. Иначе говоря, предполагается, что наблюдаемые переменные аналитически выражаются через скрытые переменные, возможно, с некоторой случайной ошибкой. Например, изменения четырех наблюдаемых переменных с достаточной полнотой могут описываться только двумя факторами. В факторном анализе наблюдаемые переменные моделируются как линейные комбинации ненаблюдаемых факторов плюс ошибки. Информация, полученная о взаимозависимостях между наблюдаемыми переменными, может использоваться позже, чтобы уменьшить набор факторов для наблюдаемой выборки данных. В вычислительном отношении эта техника эквивалентна уменьшению ранга матрицы наблюдаемых переменных.

Факторный анализ впервые возник в нсихометрике, но в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом, основателем евгеники Ф. Гальтоном (1822—1911), внесшим также большой вклад в исследование индивидуальных различий. В разработку факторного анализа внесли вклад и многие другие ученые. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологию занимались такие ученые, как Ч. Спирмен, Л. Терстоун и Р. Кеттел. Также нельзя не упомянуть английского математика и философа К. Пирсона, в значительной степени развившего идеи Ф. Гальтона, американского математика Г. Хотеллинга, разработавшего современный вариант метода главных компонент. Внимания заслуживает и английский психолог Г. Айзенк, широко использовавший факторный анализ для разработки психологической теории личности. Математически факторный анализ разрабатывался Г. Хотеллингом, Г. Харманом, Л. Терстоуном и другими.

Факторный анализ — это метод, для реализации которого на практике необходим компьютер. В настоящее время факторный анализ включен во все основные компьютерные пакеты статистической обработки данных — R, SAS, SPSS, Statistica и др.

Кратко описание факторного анализа сводится к следующему (подробное описание см. ниже). Это метод исследования того, можно ли совокупность (большого числа) наблюдаемых переменных представить как линейную комбинацию меньшего числа ненаблюдаемых «общих факторов» с точностью до некоторых малых «остаточных членов». Коэффициенты этой линейной связи называются нагрузками (на ненаблюдаемые факторы).

При определенных условиях теоретическая дисперсия каждой переменной и ковариация каждой пары переменных могут быть выражены через нагрузки и дисперсии остаточных членов. Часть дисперсии наблюдаемой переменной, которая зависит от нагрузок (связанная с общими факторами), называется общностью переменной. Сумма общностей по всем переменным составляет полную общность. Другая часть дисперсии наблюдаемой переменной, которая определяется только остаточными членами, называется частной дисперсией. Существует неограниченное число наборов нагрузок, приводящих к одинаковым теоретическим дисперсиям и ковариациям.

Факторный анализ обычно выполняется в два этапа. Сначала вычисляется допустимый набор нагрузок, который приводит к теоретическим дисперсиям и ковариациям, приближающим выборочные дисперсии настолько близко, насколько возможно согласно определенному критерию. Может случиться, что эти нагрузки или не соответствуют априорным ожиданиям, или не предоставляют разумной интерпретации. Тогда выполняется второй этап, когда найденные на первом этапе нагрузки подвергаются «вращению» для получения другого набора нагрузок, которые приближают одинаково хорошо выборочные дисперсии и ковариации, но в большей степени совместимы с априорными ожиданиями или лучше интерпретируются.

Для того чтобы определить первый набор нагрузок, обычно используется метод главных компонент, с помощью которого определяются значения нагрузок, приближающие оценку полной общности настолько близко к сумме выборочных дисперсий наблюдаемых переменных, насколько это возможно. При использовании метода главных компонент обычно требуется стандартизация наблюдаемых переменных, чтобы все они имели нулевое среднее и единичную дисперсию.