Производная. Об экономической сущности производной

Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f (x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f (x) и обозначают символом.

y'=f '(x) или .

Рассмотрим функцию y = f (x). Отметим на оси Оx некоторое значение аргумента x, а на оси Оу — соответствующее значение функции f (x).

Дадим аргументу х некоторое приращение, обозначаемое ?х. Попадем в точку х+?х. Обозначим ее на рисунке вместе с соответствующим значением функции f (x+?x). Величина.

?f = f (x+?x) — f (x)

называется приращением функции, которое отвечает данному приращению аргумента ?х.

Тот процесс, как уже было сказано, с помощью которого из данной функции f (x) получают новую функцию f '(x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

• 1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции
• ?y = f (x+?x) -f (x);
• 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а ?x 0, находим,.

который обозначаем через f '(x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение:

Производной y'=f '(x) данной функции y=f (x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т. е. конечен.

Таким образом или.

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение.

при ?x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f (x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.