Историческая справка. 
Пуассоновская модель

Пуассон в своей книге (Poisson, 1837, Secs. 73, pp. 189−190 and Secs. 81, pp. 205 207) опубликовал вывод распределения, в дальнейшем, получившего его имя. Распределение выводится, как предел последовательности биномиальных распределений.

при N, стремящемся к бесконечности, р стремящемся к нулю. Произведение Np остается конечным и равным и. Нетрудно установить непосредственным подсчетом, что.

Где означает суммирование по любому (конечному или бесконечному) подмножеству неотрицательных целых чисел 0, 1, 2, … .

Этот результат был приведен ранее де Муавром в книге (de Mensura, 1711, p. 219). Борткевич в своей работе (Bortkiewicz, 1898) рассматривал ситуации, в которых может возникнуть распределение Пуассона. С точки зрения подхода самого Пуассона, это ситуации, в которых, в дополнение к требованиям независимости испытаний и неизменности вероятности успеха от испытания к испытанию, число испытаний должно быть велико, в то время как вероятность успеха мала. Хотя Борткевич назвал это условие законом малых чисел, нет необходимости, чтобы величина и = Np была «мала». Важно лишь, чтобы N было велико, а р мало. В своей книге Борткевич изучал, в частности, количество смертей от удара копытом лошади за год в прусском армейском корпусе. Этокак раз такая ситуация, когда вероятность смерти по указанной причине мала, а число солдат, подверженных риску (в любом из корпусов), велико. Правда, остается неясным, выполнены ли условия независимости и постоянства вероятности. Однако данные, собранные Борткевичем, вполне удовлетворительно описывались пуассоновским распределением и широко цитировались, как пример применимости данного распределения. Эти данные детально обсуждаются в работе (Quine and Seneta, 1987). Борткевич, также, получил хорошее согласование с пуассоновским распределением для данных о несчастных случаях со смертельным исходом и самоубийств, включая данные о числе самоубийств в год среди прусских мальчиков в возрасте до десяти лет (а также и для девочек).

Борткевич рассчитал таблицы значений вероятностей пуассоновского распределения, а также получил многие свойства данного распределения, такие как: разностные и дифференциальные уравнения для вероятностей, вывел ряд таких моментов, как предел моментов биномиального распределения.

В работе (Thiele, 1889) приводится совершенно иной вывод. Показано, что для распределения с семиинвариантами «наблюдаемые значения равны 0, а, 2а, 3а …, и относительная частота значения ra равна автор считает, что такое распределение, «возможно, предпочтительнее биномиального, как представитель некоторого класса асимметричных законов ошибок».

Шарлье в своей статье (Charter, 1905а) рассматривал биномиальную выборочную схему с производящей функцией и таким образом показал, что вероятности успеха, не обязаны быть постоянными для того, чтобы получилось распределение Пуассона.

В статье (Charlier, 1905b) Шарлье получил это же распределение, решив систему дифференциально-разностных уравнений.

где вероятности являются функциями времени. В работах (Bateman, 1910) и (MrKendrick, 1914), также рассматривается эта модель (процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью рождения).

Стьюдент (это псевдоним В. С. Госсета) в своей статье (Student, 1907) использовал распределение Пуассона для того, чтобы представить в первом приближении число частиц, попадающих в некоторую малую область А, когда большое число таких областей разбросано случайным образом по поверхности, которая велика по сравнению с А.

Пуассоновское распределение может также возникать для событий, происходящих «случайно и независимо» по времени. Если предположить, что будущая продолжительность жизни некоторого элемента не зависит от его текущего возраста, то его общая продолжительность жизни может рассматриваться как случайная величина Т с плотностью распределения.

т.е. имеет показательное распределение. Математическое ожидание Т равно. Теперь представим себе ситуацию, в которой каждый элемент по окончании срока службы может быть заменен другим, с таким же распределением продолжительности жизни. Тогда распределение числа выходов из строя (полных продолжительностей жизни) X в интервале длины t задается следующим образом.

где обозначают последовательные продолжительности жизни и .

Из соотношения между распределениями и пуассоновским, вытекает, что.

т.е. получен тот же вид, что в изначальном равенстве, но с заменой и на. Следовательно, случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром .

Тем же самым методом приходят к использованию пуассоновского распределения для того, чтобы описывать изменение числа частиц («лучей»), испускаемых радиоактивным источником за периоды излучения. В статье (Rutherford and Geiger, 1910) приведены некоторые численные данные, хорошо согласующиеся с законом Пуассона; смотри также работу (Rutherford et al 1930).

Унификация существовавшей в то время теории была произведена Борткевичем в статье (Bortkiewicz, 1915), который опирался на распределение промежутков между осуществлениями событий; смотри монографию (Haighl, 1967). Пуассоновское распределение может быть охарактеризовано также распределением числа событий на фиксированном интервале времени процесса восстановления с показательными промежутками между восстановлениями В книге (Levy, 1937b, pp. 173−174) инициирован аксиоматический подход. Пуассоновское распределение — это считающее распределение для пуассоновского процесса. А сам пуассоновский процесс определяется как случайный точечный процесс, удовлетворяющий следующим условиям: каково бы ни было число точек в интервале, вероятность того, что точка попадет в интервал, равна, а вероятность иметь более одной точки равна; см. например, монографию (Feller, 1968, р. 447).

В paбoтe (Paren, 1962. р. 118) применяется более строгий подход. Показано что пуассоновский процесс X (t) удовлетворяет следующим пяти аксиомам:

Аксиома 0: X (0)=0.

Аксиома 1: Приращения процесса X (t) независимы, т. е. для любых, таких, что случайные величины независимы.

Аксиома 2: Для любого t > 0 справедливо 0 0] < 1.

Аксиома 3: Для любого t > 0.

Аксиома 4: Приращения процесса X (t) стационарны, т. е. для точек.

(при h>0), случайные величины и распределены одинаково.

Существуют различные доказательства того, что из аксиом 0−4 следует существование постоянной и, для которой.

Модификация этих аксиом приводит к более общему случайному процессу, например, заменив соотношение в аксиоме 4 на.

Получим неоднородный процесс, см. работу (Parzen, 1962, p. 125). В монографии о пуассоновских распределениях (Haight, 1967) обсуждаются другие аксиоматические подходы, в частности подход Фиша и Урбаника (см. работу (Fish and Urbanik, 1956)), которые дали достаточное условие для того, чтобы процесс, удовлетворяющий аксиомам 0−2, был пуассоновским. Хэйт также описал несколько специальных вероятностных моделей, среди которых модель из статьи (Hurwitz and Кас, 1944). Работа (Johnson and Kotz, 1977) посвящена урновым моделям, связанным с пуассоновским распределением.

Поскольку равенство выполняется тогда и только тогда, когда случайная величина X имеет экспоненциальное распределение, (см. работы (Feller, 1957, ch. 17) и (Parzen, 1962)), из показательности промежутков между пуассоновскими событиями вытекает что, удивительным образом, промежуток времени между произвольным моментом времени и следующим за ним пуассоновским событием распределен так же, как промежуток между двумя соседними пуассоновскими событиями.

Пуассоновское распределение — это следствие максимального беспорядка возникающего в теории информации, см. статью (Renyi, 1964). Пуассоновское расположение точек, полученное в результате тщательного перемешивания других точек, изучалось в работе (Maruyama, 1955) и (Watanabe. 1956) в справочнике (Haight, 1967) имеются также и другие ссылки.

В статье (Kreweras, 1979) описаны два необычных способа получении пуассоновского распределения с параметром. Рассмотрим все n! перестановок чисел 1, 2… n, и пусть u (n, x) — это число тех перестановок, в которых имеется x пар целых чисел, стоящих в естественном порядке. Например, при п = 5 перестановке 12 543 соответствует число x=1, перестановке 12 534 — х = 2, а для перестановки 12 345 получается х = 4.

Тогда.

Таким образом, распределение числа пар целых чисел, расположенных в естественном порядке (что было названо регулярностью перестановки), стремится к пуассоновскому распределению с параметром .

Другой способ возникновения распределения связан с рассмотрением разбиения первых 2п целых чисел на пары. Общее число возможных разбиений равно.

доля тех, которые содержат ровно х пар, состоящих из последовательных целых чисел, также стремится к при .

Пуассоновское распределение является предельным для биномиального распределения и многих других распределений. В частности, оно является предельным для отрицательно биномиального распределения; поскольку.

Осознание этого факта помогло бы смягчить дискуссию, инициированную в работе (Whittaker, 1914) по поводу относительной ценности пуассоновской и отрицательно биномиальной моделей.

В статье (Widdra, 1972) пуассоновское распределение получается как предел (при) распределения числа успехов в n частично зависимых испытаниях. Оказывается, что если — индикаторные случайные величины, и при где, но в остальном случайные величины и независимы, а вероятность успеха постоянна, т. е. для всех g, h, то распределение случайной величины.

стремится к пуассоновскому при, причем .

Важные результаты из статьи (Chen, 1975) о сходимости к пуассоновскому распределению для числа успехов в п зависимых испытаниях с использованием только первых двух моментов были передоказаны в работах (Arratia, Goldstein and Gordon, 1989, I990). Простое доказательство о пуассоновской аппроксимации распределений типа степенного ряда, опирающееся только на непрерывность производящих функций, можно найти в работе (Perez — Abreu, 1991).

В статье (Settling, 1977) с использованием пуассоновских аппроксимаций были получены границы надежности для систем типа k из п.

В последние годы использование пуассоновского распределения заметно участилось. Наряду с биномиальным распределением, пуассоновское часто служит стандартом, от которого измеряется отклонение, даже тогда, когда само пуассоновское распределение не дает адекватного представления действительности.

Справочник (Haight, 1967) о пуассоновских распределениях содержит много интересной информации о пуассоновском и связанных с ним распределениях.