Построение модели остатков (ошибок)

Процедуры, рассмотренные в подпараграфе 7.3.2, позволяют снизить эффект только автокорреляции первого порядка. В общем случае решение проблемы автокорреляции состоит в построении модели остатков. В эконометрике применяется большое число разнообразных моделей такого типа. Рассмотрим наиболее простые из них.

Модель авторегрессии

В модели авторегрессии порядка р предполагается, что текущее значение ряда остатков e (t) линейно зависит от р предыдущих значений этого же ряда. Такую зависимость можно представить в виде регрессионного уравнения:

где а, а₂, …, а_/; — неизвестные параметры; e (t — 1), e (t — 2), …, e (t — р) — лаговые значения остатков; и (1;) — случайная ошибка, для которой справедливы следующие предположения:

В эконометрической литературе модель (7.20) принято обозначать AR (p)^]. Для построения такой модели необходимо знание р начальных значений временного ряда.

Свойства модели (7.20) существенно зависят от того, какие из лаговых переменных в ней присутствуют, каковы конкретные значения и знаки коэффициентов а_;. Например, для модели AR ( 1).

где u (t) — независимые случайные ошибки, подчиняющиеся стандартному нормальному распределению (u (t) ~ А^г(0, 1)), при ох, = 0,8 коррелограммы имеют вид, представленный на рис. 7.8, а, б.

При изменении знака параметра, соответствующего лаговой переменной, вид коррелограмм принципиально изменится (рис. 7.9, а, б).

Рассмотрим поведение модели (7.21) при условии, что начальное состояние ряда равно единице, т. е. е (1) = 1. Тогда^[1]

Рис. 7.8. Графики автокорреляционной (а) и частной автокорреляционной (б) функций для модели (7.21) при а, = 0,8.

Очевидно, что совокупное влияние начального состояния определяется как сумма.

Ряд (7.22) как ряд геометрической прогрессии будет сходиться только в том случае, когда |ос, |< 1. Эго условие называется условием сходимости модели AR ( 1). Оно является.

Рис. 7.9. Графики автокорреляционной (а) и частной автокорреляционной (б) функций для модели (7.21) при а, = -0,8.

необходимым условием стационарности модели временного ряда (7.21).

Следует отдельно рассмотреть ситуацию, когда оц = 1. Возникающая в этом случае модель.

получила собственное название — модель случайного блуждания. На рис. 7.10, а представлено несколько возможных реализаций этой модели при u (t) ~ N (0, 1).

Типичные коррелограммы, соответствующие любой из этих реализаций, представлены на рис. 7.10, б, в.

Рис. 7.10. Примеры реализаций случайного блуждания (а) и графики автокорреляционной (б) и частной автокорреляционной (в) функций для модели случайного блуждания Сопоставление коррелограмм модели случайного блуждания и модели тренда (см. рис. 6.6, б, в) позволяет отметить, что наблюдается явное сходство в их структуре. Поэтому модель случайного блуждания в литературе часто называют моделью стохастического тренда. Случайное блуждание не является стационарным случайным процессом, поскольку в этой модели дисперсия отклика непостоянна и зависит от времени:

Модель (7.21) при |а,|>1 также получила собственное название — взрывная авторегрессия. Однако в силу ряда особенных свойств она почти не используется на практике [2, 19J.

Перейдем к рассмотрению модели AR (2).

где u (t) — независимые случайные ошибки, подчиняющиеся стандартному нормальному распределению. В этой модели, как и в модели AR ( 1), знак параметра а₂ оказывает существенное влияние на вид коррелограмм. В частности, при а₂ = 0,8 коррелограммы имеют вид, представленный на рис. 7.11, а, б, а при а₂ = -0,8 — на рис. 7.12, а, б.

Рис. 7.11. Графики автокорреляционной (а) и частной автокорреляционной (б) функций для модели (7.23) при а₂ = 0,8.

Рис. 7.12. Графики автокорреляционной (а) и частной автокорреляционной (б) функций для модели (7.23) при а₂ = -0,8.

Рассуждая аналогично, можно показать, что стационарность в модели (7.23) достигается при выполнении условия |а₂1 < 1. В общем виде для модели AR (p) (7.20) выполнения условий.

недостаточно для ее стационарности. Условие стационарности таких моделей заключается в том, что все корни уравнения.

лежат вне единичного круга: |z|> 1 [2, 19].

• [1] От англ. AutoRegressive model of order p.