Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля/;' может быть сформулирована не только в интегральной форме, но и в дифференциальной (локальной) форме, отражающей локальные свойства электростатического поля. В соответствии с математической теоремой Остроградского — Гаусса поверхностный интеграл можно свести к объемному:

или.

где объемный интеграл берется по объему V внутри замкнутой поверхности, дивергенция вычисляется по формуле.

С учетом того что заряд можно также определить через объемный интетрал, но объему V, теорема Гаусса сводится к уравнению jdiv/: dV = — JpcIV,

Поскольку объем интегрирования выбран произвольно, то подынтегральное выражение должно тождественно обращаться в ноль. Таким образом, с помощью математической теоремы Остроградского — Гаусса получаем физическую теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме:

Полученная формула иллюстрирует математический смысл дивергенции как отношения потока вектора через поверхность к бесконечно малому объему.

Контрольные вопросы и задания

• 16.1. Сформулируйте понятия потока вектора напряженности электрического ноля и электрического смещения.
• 16.2. Выведите теорему Гаусса в интегральной форме.
• 16.3. Рассчитайте поле равномерно заряженной бесконечной плоскости и двух плоскостей.
• 16.4. Рассчитайте поле равномерно заряженной бесконечной нити и цилиндрической поверхности.
• 16.5. Рассчитайте поле равномерно заряженной сферы и шара.
• 16.6. Выведите теорему Гаусса в дифференциальной форме.