Вычисление коэффициента линейной корреляции Пирсона

Критерий корреляции Пирсона используется, если измерения нормально распределены и нам необходимо сделать вывод о линейной зависимости между этими переменными. Если такая связь существует, то данный критерий позволяет также сделать вывод о тесноте линейной связи и о статистической значимости.

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по формуле.

где d_x = х_х — М (х), d_y = у_х — М (у) — величины отклонения от среднего арифметического М (х) и М (у); х_х — значения, принимаемые в выборке Х у_{ — значения, принимаемые в выборке Y.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют таблицу Чеддока^[1] (табл. 7.13), которая позволяет дифференцировать тесноту этой связи.

Таблица 7.13

Оценка тесноты коэффициента линейной корреляции Пирсона г_ху

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции г_ху осуществляется на основе следующего ^-критерия:

Поскольку использование коэффициента линейной корреляции Пирсона предполагает использование данных, подчиненных нормальному закону распределения, то для примера вычисления используем данные о количестве прибытия клиентов банка до и после рекламных акций, приведенные в параграфе 7.2.

Пример 7.6.

Выясним, существует ли линейная связь между прибытием клиентов в банк до и после рекламных акций (табл. 7.14).

Распределение частоты прибытий клиентов банка в минуту во время ланча до и после рекламных акций.

Таблица 7.14

Решение

Сформулируем гипотезы:

Я₀: взаимосвязь между признаками статистически незначима;

Я: взаимосвязь между признаками статистически значима.

Итак, используя данные, полученные для^{-критерия} Стьюдента, мы знаем, что М (х) = 2,9 и М (у) = 3,19. Вычислим d_x., d_y. (табл. 7.15).

Таблица 7.15

Распределение величин отклонения d_xd.

^лг «I.

Каждое значение отклонения возведем в квадрат и найдем для каждой пары отклонений их произведение d_x.d_y. (табл. 7.16).

Таблица 7.16

Распределение квадратов и произведения величин отклонения d_r._y d.

^л1 ift

п п

Определим значения сумм квадратов отклонений: =108,1; =99,66.

i=l ¹ i=1 ¹

п

Найдем значение суммы произведений отклонений: ^d_x.d_y. =103,46.

i=i.

Найдем значение коэффициента линейной корреляции Пирсона г_хуу используя формулу (7.5):

Оценивая статистическую значимость коэффициента корреляции г_ху по формуле.

. 0,99л/200−2 _АО«_г

(7.6), получаем t =—, =- ~ 98,7э.

Vl-(0,99)2.

Интерпретация данного критерия предполагает, что:

• • если t_r > ?_крнт, корреляция достоверно отличается от 0, т. е. взаимосвязь между признаками статистически значима;
• • если t_r < ?_крит, корреляция недостоверно отличается от 0, т. е. взаимосвязь между признаками отсутствует.

Для определения ?_крнтпри определенном уровне значимости используются специальные таблицы (см. приложение, табл. П.13).

Если выбрать уровень значимости 0,001, то ?_крнт = 0,231. Следовательно, t_r > ?_крит, данная корреляционная связь является статистически значимой (р < 0,001), гипотеза #₀ не подтвердилась.

Таким образом, значение коэффициента корреляции Пирсона составило 0,99, что соответствует о весьма высокой тесноте связи между прибытием клиентов в банк до и после рекламных акций.

Условия использования коэффициента линейной корреляции Пирсона следующие.

• 1. Сопоставляемые показатели измерены в количественной шкале.
• 2. Сравниваются только две случайные величины. В случае анализа взаимосвязи трех и более величин используется метод факторного анализа, который не является предметом рассмотрения данного издания.
• 3. Полученные измерения показателей нормально распределены. В противном случае используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (см. ниже).

• [1] Роберт Чеддок (Robert Emmet Chaddock, 1879—1940) — американский статистик.