Теория вероятностей. 
Теория вероятностей

Задание 1

Событие, А — хотя бы одно из трех имеющихся изделий бракованное; событие В — бракованных изделий среди них не менее двух.

Что означают события;; ;

Решение.

— событие, противоположное событию. Это два несовместных события, одно из которых обязательно должно произойти.

— все изделия из трех имеющихся качественные.

— событие, противоположное событию. Это два несовместных события, одно из которых обязательно должно произойти.

— ровно одно из трех изделий бракованное.

— сумма событий: выполняется или событие, или событие В. Но так как эти события зависимы, то выполняется событие А.

— произведение событий: выполняются исходы, принадлежащие событиям, А и В одновременно. Но так как событие В содержится в событии А, то произведение этих событий является событием В.

Задание 2

Из колоды в 36 карт наугад вынимают две карты. Найти вероятность того, что вынуты туз и десятка.

Решение Выбирается один туз из четырех и одна десятка из четырех. Всего выбирается две карты из 36.

Поскольку порядок изъятия карт не важен, а важен только состав карт, то используем формулу сочетаний.

Задание 3

Два действительных числа Х и Y выбирают независимо друг от друга так, что сумма их квадратов меньше 64. Какова вероятность того, что сумма положительных Х и Y окажется меньше 8?

Решение Выбираем произвольную точку с координатами из первого квадранта круга радиуса 8.

Пусть:

— событие, состоящее в том, что все числа положительные и их сумма меньше 8.

Рис. 1.

Чтобы найти вероятность искомого события, нужно площадь треугольника разделить на площадь круга:

Найти вероятность того, что на удачу выбранное целое положительное число делится на 2 или на 3.

Решение Пусть:

— событие, состоящее в том, что наудачу выбранное целое положительное число делится на 2;

— событие, состоящее в том, что наудачу выбранное целое положительное число делится на 3.

Существуют числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно, поэтому события и зависимые.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть:

Целых положительных чисел, делящихся на 2 — каждое второе.

Целых положительных чисел, делящихся на 3 — каждое третье.

Задание 5.

В партии из 10 изделий 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки шести изделий ровно два окажутся бракованными.

Решение Выбрано 6 изделий, из них два бракованных выбираются их четырех имеющихся бракованных изделий, а остальные четыре качественных выбираются из шести имеющихся качественных изделий.

Поскольку важен только состав изделия, а порядок изъятия не важен, то используется формула сочетаний.

Задание 6.

Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:; ;. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Решение Пусть — событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно попадание из трех орудий.

Сумма всех вероятностей попаданий равна единице, поэтому вероятность хотя бы одного попадания равна единице минус вероятность ни одного попадания.

Поскольку события попадания из орудий являются независимыми, то используется формула произведения вероятностей.

Задание 7

В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимают один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто два белых и один черный шар?

Решение Два белых шара выбираются из 25 имеющихся белых шаров. Два черных шара выбираются из пяти имеющихся черных. Так как важен только состав выбранных шаров и при этом не важен порядок их изъятия, то используется формула сочетаний:

Задание 8.

Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,50; 0,25 соответственно. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий таковы: 0,1 — для первой; 0,2 — для второй; 0,4 — для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Решение Пусть:

— событие, состоящее в том, что лампа принадлежит первой партии;

— событие, состоящее в том, что лампа принадлежит второй партии;

— событие, состоящее в том, что лампа принадлежит третьей партии;

— событие, состоящее в том, что лампа проработает заданное число часов.

Если событие может произойти только при условии появления одного из событий, то вероятность появления события равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события :

По формуле полной вероятности:

Задание 9

вероятность событие орудий пуассон На склад поступает продукция с двух фабрик, причем продукция первой фабрики оставляет 60%, второй — 40%. Известно, что средний процент нестандартных деталей для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

Решение.

— событие, состоящее в том, что изделие с первой фабрики;

— событие, состоящее в том, что изделие со второй фабрики;

— событие, состоящее в том, что изделие оказалось нестандартным.

По условию задачи:

Если событие может произойти только при условии появления одного из событий, то вероятность появления события равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события :

По формуле полной вероятности:

Формула Байеса применяется, когда событие, которое может появиться только с одной из гипотез, образующих полную группу событий, произошло и необходимо подтвердить количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез, известных до испытания, то есть надо найти апостериорные .

ПО формуле Байеса:

Задание 10.

При определении зараженности зерна установлено, что в 1 кг содержится в среднем 10 вредителей. Какова вероятность того, что в 100 г не встретится ни одного вредителя?

Формула Пуассона:

Формула Пуассона используется также для расчета вероятности появления различного числа событий (точек) в какой-либо области (площади, объеме или во времени).

Если указано среднее число появления точек на единицу области (площади, объема, времени), то число л точек, попадающих в область s, внутри которой появляются интересующие нас события (точки), определяется произведением среднего числа и размера области s, т. е.. В этом случае вероятность Ps (m) появления m событий (точек) в области s определяется формулой Пуассона:

;

По условию задачи, среднее число вредителей, содержащихся в 1 кг зерна, размер области г = 0,1 кг .