Алгоритм поиска оптимума с помощью симплекс-планирования

Метод многофакторного планирования эксперимента предусматривает экономный многошаговый процесс движения к экстремуму по поверхности отклика с одновременным, если это необходимо, описанием многофакторной зависимости соответствующей части этой поверхности.

Название метода объясняется тем, что начальная серия опытов и все их совокупности, анализируемые на том или ином шаге движения к экстремуму, расположены в п-мерном факторном пространстве n-мерного симплекса.

Под n-мерным симплексом подразумевают выпуклую геометрическую фигуру в п-мерном факторном пространстве, имеющую п + 1 вершин, соединенных прямыми отрезками, называемыми ребрами. Если вершины находятся друг от друга на одинаковом расстоянии, то такой симплекс называют правильным. Любые п вершин симплекса лежат в одной гиперплоскости. Часть такой гиперплоскости, ограниченной ребрами, будет называться гранью симплекса, противоположной вершине, не лежащей в этой гиперплоскости.

Одномерным симплексом будет отрезок прямой, двумерным — плоский треугольник, трехмерным — тетраэдр и т. д. Существует, например такой алгоритм поиска оптимума.

• 1. Вычисляется симплекс (определяются координаты X,-) и реализуются эксперименты (число экспериментов для n-мерного симплекса равняется п + 1).
• 2. Отбрасывается точка плана с наименьшим значением выходного параметра.
• 3. Строится новый симплекс, образуемый остальными вершинами выходного симплекса и новой вершиной, которую получают путем зеркального отражения отброшенной вершины относительно противоположной к ней грани начального симплекса. Координаты новой точки

где — вектор координат j-й вершины; J — номер вершины выходного симплекса.

• 4. Проводится эксперимент в новой точке плана X*.
• 5. Последовательно перемещается симплекс, в процессе чего на каждом шаге происходит отбрасывание вершины с наихудшим значением выходной переменной.

На рис. 5.14, а последовательно наихудшими вершинами являются 1, 2, 3.

• 6. Если при перемещении симплекса на протяжении п + 1 шагов одна из вершин сохраняет свое место, то симплекс делает оборот вокруг этой вершины. Это означает, что в данной точке находится оптимум (рис. 5.14, б).
• 7. Если выходная переменная в новой вершине симплекса выглядит хуже, чем в других вершинах, возвращаются к предыдущему симплексу и выбирают вершину, которую откинули и в которой выходная переменная имеет значение, следующее по порядку за наихудшей вершиной симплекса.

Рис. 5.14. Схемы обхода симплекса

• 8. Если новая вершина выходит за пределы допустимой области планирования, то нужно провести такие действия, как в п. 7.
• 9. При достижении оптимума размер симплекса уменьшают (приблизительно на V4) —
• 10. Оптимум является достигнутым, если одна и та же точка входит в последовательные симплексы N раз, где N = = 1,65п + 0,05п².
• 11. При присутствии дрейфа факторов необходимо в каждой точке делать несколько экспериментов и применять среднее значение выходной переменной.

После осуществления первой серии, состоящей из п + 1 опытов, точку, соответствующую самому плохому результату из всех п + 1 результатов, соединяют прямой с центром противоположной грани, на продолжении этой прямой находят точку, удаленную от центра грани на то же расстояние, что и худшая точка. Координаты этой точки определяют условия (п + 2)-го опыта.

Рассматривая следующий симплекс, находят для него худшую точку и затем координаты нового опыта и т. д., постепенно приближаясь к вершине поверхности отклика (рис. 5.15). На рис. 5.16 изображена последовательность двухфакторного исследования с применением симплекс-планирования, в которой обычно применяют правильные симплексы.

Рис. 5.15. Оптимизация процесса при симплекс-планировании исследования влияния на процесс двух факторов.

Рис. 5.16. Симплексный план при исследовании влияния на процесс двух факторов.