Численное дифференцирование и интегрирование

При этом справедливо аналогичное (6) равенство (20) где некоторая точка. Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:(21)а суммирование равенств (20) с учетом того, что по леммегденекоторая точка отрезка, дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом:(22) Совершенно аналогично при услвии, что с использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула трапеций (23)и отвечающая ей формула с остаточным членом (24)где некоторая точка. Пусть теперь и, как обычно, Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку длины: Суммируя левую и правую части этого соотношения от 0 доN-1, получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона (25)Сответствующая ей формула с остаточным членом, полученная суммированием по частичным отрезкам равенств вида (18), при условии, что, такова: (26)где Введем краткие обозначения (27)где, а также положим (28)где Приближенные равенства (29)(30)назовем сответственно формулами прямоугольников, трапеций и формулой Симпсона, опуская слова ‘'усложненная квадратурная''.Из виражений остаточных членов в (22), (24), (26) видно, что формулы (29) прямоугольников трапеций точны для многочленов первой степени, т. е. для линейных функций, а формула (30) Симпсона точна для многочленов третьей степени (для них остаточный член равен нулю). Погрешность формул (29) имеет второй порядок относительно (заведомо не лучше, если непрерывна на и не обращается в нуль), а формула Симпсона при соответствующей гладкости является формулой четвертого порядка точности. Поэтому для функций класса при малом формула Симпсона обычно дает более высокую точность, чем формула (29).Погрешность формулы прямугольников и формулы Симпсона при вычислении интеграла (1) в силу (22), (26) удовлетворяет неравенствам (31)(32)Аналогичное неравенство имеет место и для погрешности формули трапеций. Наряду с оценками погрешноси сверху полезны оценки снизу. В частности, для погрешности формулы прямоугольников оценка снизу, вытекающая из (22), такова: (33)Пример. Исследовать погрешность квадратурных формул для интеграла при. о на Согласно (31)-(33) получаем.

Формулы прямоугольников трапеций в отдельности уступают при интегрировании гладких функций формуле Симпсона. Однако в паре они обладают ценным качеством, а именно, если не изменяет знака на то формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (1), так как согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки. В рассмотренном примере Поэтому В данной ситуации естественно положить Тогда т. е. погрешность оценивается через самые приближенные значения интеграла.

Заключение

.

На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1), обычно делят заданный отрезок на равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке называется усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за, а при использовании формулы Симпсона — за .

Список литературы

Бахвалов Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: БИНОМ, 2008 г. — 636 с. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -.

М.: Физматлит, 2002 г. — 368 с. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -.

М.: Наука, 1980 г. — 386 с. Сборник задач по методам вычислений. / Под ред. П. И. Монастырного, М.: Физматлит, 1994 г.

— 320 с.