Метод дискретных особенностей и его применение в задачах суперкавитационного обтекания профилей

Развитие современной гидродинамики, как и других областей науки и техники, невозможно представить вне связи с развитием быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ), или компьютеров, а также численных методов, предназначенных специально для применения на ЭВМ. Технический прогресс в области компьютеров и новые численные методы позволяют решать многие сложные задачи, которые считались раньше недоступными. Сейчас можно проводить детальные параметрические исследования математических моделей весьма сложных задач гидродинамики, используя так называемый вьшислительный эксперимент /62,64, 72/.

В настоящее время для решения прикладных задач на ЭВМ придерживаются следующей схемы: 1) физическая модель исследуемого объекта, или явления- 2) математическая модель- 3) численный алгоритм- 4) программа для компьютера- 5) проведение расчетов на ЭВМ- 6) анализ и сравнение результатов расчета с данными натурного эксперимента и теоретических результатов.

На первом этапе выбирают физическую модель процесса, решают какие факторы учесть, а какими можно пренебречь. На втором этапе физической модели ставится в соответствие математическая модель, т. е. описание физических процессов с помощью уравнений: алгебраических, дифференциальных, интегральных и других. Если система уравнений окажется незамкнутой, или неразрешимой, то приходится корректировать физическую модель.

Второй этап состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. численного (вычислительного) алгоритма. Проводится исследование его сходимости, оценка точности, а также экономичности в смысле расхода машинного времени при проведении систематических расчетов.

На следующем этапе составляют программу на каком-нибудь языке программирования для ЭВМ. При этом ставятся требования распространенности языка, модульность, универсальность и другие. Далее проводятся вычисления на ЭВМ по созданной программе. На последнем этапе делают анализ полученных результатов и их сравнение с физическими экспериментальными данными и с общепринятыми теоретическими результатами. На основе этого анализа может быть принято решение об уточнении математической модели и начать все сначала.

Данная диссертация выполнялась по приведенной выше схеме и в соответствии с принципами математического моделирования. Рассматриваемые в данной работе задачи связаны с известными физическими и математическими моделями, принятыми в гидродинамике /7, 14, 37, 41, 44, 71/. Например, жидкость предполагается невязкой, т. е. идеальной и несжимаемой. Течение жидкости считается потенциальным, т. е. безвихревым и стационарным, или установившимся.

Основной целью работы является аналитическое исследование точности метода дискретных вихрей (МДВ), модификация метода дискретных особенностей (МДО) при решении линеаризованных задач суперкавитационного (СК) обтекания профилей и решение задач профилирования части обтекаемых поверхностей с помощью МДО.

Актуальность работы. Для решения широкого класса линейных задач обтекания тонкого крыла в аэродинамике получил распространение численный метод дискретных вихрей, особенно в работах С. М. Белоцерковского и его коллег, например, в /1, 2, 3/. Этим методом также проводятся машинные эксперименты (численное моделирование) и нестационарного, и отрывного обтекания несущих поверхностей. Во многих работах применяются различные модификации МДВ, исследование его сходимости и критика /6, 9,10, 42, 46, 58, 65, 66, 69, 76/. Численно были получены погрешности расчета интенсивности дискретных вихрей вдоль профиля в некоторых работах, например, в /6, 9,42,76/. Не имеется точных оценок результатов расчета суммарных аэродинамических коэффициентов профилей: подъемной силы и момента. Поэтому актуальной является задача получения точных (аналитических) оценок погрешности вычисления локальных и суммарных характеристик профиля методом дискретных вихрей хотя бы в самом простом случае.

Одним из важных разделов прикладной и теоретической гидродинамики является кавитация. Ее изучению и применению в технике посвящено огромное число работ, монографий и обзоров, в частности /4, 14, 15, 28, 35, 43, 55, 56/. Суперкавитирующие (СК) механизмы, также, как винты, насосы и турбины, отличаются от обычных тем, что на тыльной стороне лопасти, начиная с передней кромки, образуется каверна, которая простирается вдоль лопасти и за ней так, что хвост каверны находится в потоке, поэтому при схлопывании кавитационных пузырьков обтекаемая лопасть не разрушается /12, 29−32, 35, 38, 50, 56, 57, 79, 81, 85/. Так как эти механизмы высокоскоростные, то они по сравнению с обычными являются более компактными. СК-винты стоят на быстроходных катерах и судах, СК-насосы применяются для перекачки кипящих и криогенных жидкостей в космической технике. СК-турбины пока не применяются, но возможно их применение для обратимых гидроэлектростанций. Известно, что для расчета таких механизмов можно применять теорию решеток профилей /11, 13, 14, 26, 33., 67/. Большой обзор по СК-решеткам имеется в работе /16/ автора. Для проведения систематических расчетов характеристик СК-профилей в решетках более приемлемым и распространенным является метод интегральных уравнений /14, 16/, так как он дает единый подход для расчета обтекания, как одиночного профиля, так и решетки профилей и в плоском, и в пространственном случаях. Метод интегральных уравнений основывается на линейной теории кавитационного обтекания, см. например, /7, 13−15, 25−28, 51, 52, 68, 83, 84/. Получающиеся при этом системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ) имеют аналитическое решение в очень редких случаях /21, 61 75/. Поэтому они решаются в основном только численно. Для этого развитый, в основном, в аэродинамике метод дискретных вихрей был переделан И. И. Ефремовым /25/ для решения линеаризованных задач кавитационного обтекания и широко применяется им и его коллегами. Кроме вихрей, для моделирования каверны добавляются источники-стоки, поэтому метод называется методом дискретных особенностей. При этом дискретные вихри располагаются на линии, представляющей профиль, а дискретные источники-стоки — на линии, представляющей каверну, которая длиннее, чем линия профиля в случае суперкавитации. Расположение дискретных особенностей вдоль линии является равномерным, но существующая квадратура для сингулярных интегралов /34, 36, 53, 66, 69, 7678, 80,82/, примененная для задач аэрогидродинамики в работах /47, 48, 66, 69/ является более точным для расчета как локальных, так и суммарных характеристик профилей. Поэтому актуальной задачей является модификация алгоритма метода дискретных особенностей с применением неравномерного распределения дискретных особенностей, основанного на квадратуре для сингулярных интегралов, для более точного расчета параметров и для экономии машинного времени при систематических расчетах.

В экспериментальных гидроканалах рабочий участок (РУ) иногда бывает уже, чем подводящий канал. Тогда устраивается сопрягающий участок криволинейный в плане формы — аналог трехмерного конфузора. Форма такого двумерного конфузора должна быть такова, чтобы эпюра скоростей в рабочем участке была бы близка к прямолинейной, т. е. скорость потока в точках поперечного сечения в РУ должна быть одинаковой и параллельной стенкам РУ. Эта задача может иметь практическое значение в строительстве каналов.

Для высокоскоростных подводных аппаратов и снарядов типа торпед и ракет цилиндрической формы существует задача определения формы голов ной части для минимизации сопротивления. Предполагается, что скорость движения достаточно большая, такая, что хвостовая часть аппарата обтекается отрывно, возможно с образованием каверны, т. е. в режиме суперкавитации, а боковая поверхность безотрывно. Форма головной части должна быть такова, чтобы в месте сопряжения ее с основной цилиндрической частью не было отрыва потока.

Научная новизна работы определяется полученными результатами. Исследована точность метода дискретных вихрей и получены аналитические оценки погрешностей расчета локальных и суммарных гидродинамических характеристик для случая пластинки и симметричных параболических дужек. Попутно получены новые комбинаторные суммы. Получено новое универсальное решение задачи об обтекании крыла вблизи экрана, основанное на методе дискретных вихрей с неравномерным распределением. Для решения линеаризованных задач суперкавитационного обтекания профилей разработана модификация метода дискретных особенностей. Получено новое и более полное аналитическое решение задачи об обтекании прямой решетки супер-кавитирующих профилей с конечными кавернами. Для случая решетки плоских пластин найдены более простые зависимости коэффициента подъемной силы и числа кавитации в зависимости от длины каверны. Поставлены и решены две задачи профилирования части обтекаемых тел методом особенностей.

Практическая ценность работы заключается в следующем. С помощью разработанного алгоритма и программы можно рассчитать гидродинамические характеристики любых тонких крыльев вблизи экрана. Применяя модифицированный метод дискретных особенностей и программное обеспечение к нему можно проводить систематические расчеты, как изолированных су-перкавитирующих профилей, так и сложных систем профилей, в частности решеток, что важно для проектирования суперкавитирующих винтов, насосов и турбин. При этом повышенная точность модифицированного метода дискретных особенностей позволяет экономить машинное время, т. к. можно обходиться меньшим числом дискретных особенностей, что эквивалентно меньшей размерности решаемой системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). С помощью разработанных алгоритмов и программ можно проводить профилирование стенок каналов и головных частей цилиндрических тел вращения.

Достоверность результатов исследований основана на применении общепринятых аналитических методов. Результаты, полученные численными алгоритмами, подтверждаются сравнениями с тестовыми аналитическими решениями и численными результатами, полученными другими методами.

Методы исследования. Для аналитического исследования применялись методы матричного исчисления для решения системы линейных алгебраических уравнений, методы комбинаторики, метод обращения для сингулярного интегрального уравнения и другие. Для численных алгоритмов применялись метод дискретных вихрей, метод дискретных особенностей, метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, метод регуляризации для решения некорректных задах и другие.

В главе 1 анализируются два варианта МДВ с равномерным и неравномерным распределением дискретных вихрей и контрольных точек. Сингулярное интегральное уравнение (СИУ), являющееся математической моделью безотрывного обтекания тонкого профиля, при численном решении по МДВ переходит в систему линейных алгебраических уравнений, которая решается известными алгоритмами. Решение СЛАУ дает распределение интенсивности дискретных вихрей вдоль линии профиля, которые характеризуют локальные нагрузки. Суммы их с определенными весами дают приближенные значения суммарных аэродинамических характеристик профиля, такие как коэффициенты подъемной силы и момента. Для некоторых простейших профилей типа тонкой пластины и параболических дужек, задаваемых полиномами небольших степеней, существуют аналитические решения СИУ. Поэтому можно сравнить численные результаты, полученные по МДВ с аналитическими. Это дает возможность оценить степень точности расчетов по МДВ.

В 1.1−1.4 рассматривается некоторое множество равномерных схем МДВ, включающее в себя все известные. В 1.1 показывается, что для всех схем из этого множества система ЛАУ, в случае пластинки, решается аналитически. Раньше такое решение было получено только для двух вариантов равномерных схем /6, 76/. В 1.2 анализируется точность вычисления суммарных характеристик профиля Су и См, вычисляемых по полученному решению — значения дискретных вихрей у (, i = 1,2,., п, вдоль профиля. Расчеты показывают, что С равно точному Су т для всех схем из указанного множества при любом п. Что касается коэффициента момента См для пластины, то он вычисляется точно только для одной схемы, которая известна как схема «¾». Далее в 1.3 проведено сравнение значений дискретных вихрей ук для случая схемы «¾» с точными. Вычислены значения вк = ук/у ($к),.

8к =100-(вк —1|5 к=1, 2, 3,., п, где у (як) — точные значения функции плотности вихревой линии в точке, где располагается дискретный вихрь ук. Показано, что оценки вк и 4 при больших п и фиксированных к не зависят от п. Приведены формулы для вк и ¿-к при к= 1, 2, 3, 4, п-3, п-2, п-1,п, соот-ветствуюгцие дискретным вихрям около передней и задней кромок профиля. Например,.

8Х «11,40%, 82 «0,92%, 8пА «0,49%, ?>2,30%.

Для дискретных вихрей, расположенных в середине пластины получены ожидаемые оценки вк=, 8к =0, к*п/ 2. Относительные ошибки 8к раньше определялись по численному решению ЛАУ при некоторых значениях п. Здесь они являются асимптотическими, полученными при п—>оо. Для получения картины распределения нагрузок около кромок, что важно для расчета прочности профиля, следует, при применении схемы «¾» МДВ, исключить первый дискретный вихрь ух и последний — уп, так как их значения сильно отличаются от точных. В 1.4 рассмотрен случай изогнутого профиля в виде симметричной параболической дужки, заданной полиномом 2-го порядка. Так же, как и для случая пластины, получено аналитическое решение СЛАУ для множества равномерных схем, произведены оценки Су, См и ук, к =, 2,., п. Показано, что наилучшой схемой и в этом случае является схема «¾» .

В 1.5 описывается МДВ с неравномерным распределением дискретных вихрей и контрольных точек, основанное на квадратуре А. А. Корнейчука /36/ сингулярных интегралов. Эту схему иногда называют схемой «cos», так как формулы для распределения дискретных вихрей и контрольных точек содержат функцию cos. В 1.5 показано кардинальное преимущество схемы МДВ с неравномерным распределением («cos») перед схемой с равномерным распределением («¾»).

В 1.6 решается задача об обтекании тонкого профиля вблизи экрана с помощью МДВ по схеме «cos». Для случая плоской пластины приведены результаты расчетов. Они сравниваются с результатами, полученными ранее асимптотическими методами /34/. Показано, что данный метод решения является универсальным, так как он «работает» во всем диапазоне изменения относительного отстояния профиля от экрана, в отличие от асимптотических методов. И позволяет рассчитать случаи с любыми формами профилей, тогда как упомянутые методы имеют ограничения по этой части.

В главе 2 рассматривается метод дискретных особенностей (вихрей и источников-стоков), применяемый для решения линеаризованных задач су-перкавитационного обтекания тонких профилей. В 2.1 описывается обычный метод дискретных особенностей, переделанный из МДВ с добавлением источников И. И. Ефремовым. При этом применяется равномерная схема «¾» дискретных особенностей после некоторой замены переменных. Далее в 2.2 и 2.3 подробно изложена модификация МДО, предложенная автором. Основная идея состоит в применении квадратуры для СИ. Для этого производится замена переменных по И. И. Ефремову и с учетом весовых функций для плотностей вихрей у (х) и источников-стоков q (x), вводится распределение дискретных особенностей и контрольных точек по схеме «cos», описанной в главе 1. После некоторых замен неизвестных система значительно упрощается, также упрощаются и формулы для расчета коэффициентов подъемной силы Су, сопротивления Сх и моментаСм. Сравнение модифицированного и обычного МДО проведено для случая пластинки, для которого аналитическое решение было получено В. М. Романом. Для функции плотности вихрей у (х) относительная погрешность по модифицированному МДО в среднем на порядок меньше, чем по обычному МДО. Для конкретного случая, показанного в 2.3, коэффициент подъемной силы Су, вычисленной по модифицированному МДО имеет относительную ошибку 0,1%, тогда как по обычному МДО — 4,2%. Более высокая точность расчетов по модифицированному МДО позволяет при решении системы ЛАУ, соответствующей исходной системе СИУ, обходиться меньшей ее размерностью. Это важно для систематических расчетов на ЭВМ из-за экономии машинного времени.

В 2.4 описано применение модифицированного МДО к решению задачи суперкавитационного обтекания решетки тонких профилей, применяемого для расчета суперкавитирующих осевых насосов, винтов и гидротурбин. Подробно изложены распределение особенностей и введенные замены неизвестных, значительно упрощающие систему ЛАУ и расчет коэффициентов.

СУ> Сх и см.

Глава 3 посвящена аналитическому решению линеаризованной задачи об обтекании решетки суперкавитирующих тонких профилей в частном случае, когда угол выноса решетки равен нулю, т. е. прямой решетки. В 3.1 дана система уравнений и сделан ряд замен переменных. Далее в 3.2−3.5 получены, с помощью формул обращения СИ, общее решение системы, число кавитации ст и коэффициент подъемной силы Су для случая пластины. Приведены формулы вычисления, а и Су для частного случая бесконечных каверн. Причем формула для Су получена впервые. Это решение можно рассматривать как тестовое для численного МДО при решении задачи об обтекании СК-решеток тонких профилей. В 3.6 проведен ряд сопоставлений результатов по модифицированному МДО и аналитического для различных длин каверн, густоты решетки от 0,1 до 1,5 и числа дискретных вихрей и = 10 и п = 20. Показано, что относительное расхождение результатов для сг и Су везде меньше 1%. Сравнение результатов при разных числах дискретных вихрей показало, что п = 10 дает удовлетворительную точность, а экономия машинного времени по сравнению со случаем п = 20 примерно в 8 раз.

В главе 4 решены две задачи профилирования обтекаемых поверхностей с применением метода дискретных особенностей. Особенности представляют собой изолированные источники, распределенные вдоль прямых диполи. Условия на линию тока и на критическую точку, где скорость равна нулю, приводят к интегральным уравнениям Фредгольма I рода, которые численно решаются методом регуляризации по А. Н. Тихонову.

В 4.1 решается задача определения профиля стенок канала при его сужении. Ставится условие, чтобы в начале узкой части канала эпюра скоростей уже была бы прямолинейной. Задача, типа конфузора, имеет практическое значение, в частности, для экспериментальных гидроканалов с узким рабочим участком. Приведены примеры численных расчетов по форме линии сопряжения и эпюр скоростей в некоторых сечениях. Задачу можно интерпретировать как задачу о профилировании плоского сопла с прямолинейной выходной эпюрой скоростей.

В 4.2 рассматривается задача профилирования головной части осесим-метричного тела вращения с прямолинейной образующей (типа цилиндра), обтекаемого вдоль оси. Неизвестная линия образующей головной части в ме-ридиальной плоскости определяется по нулевой линии тока, проходящей через критическую точку (нос тела) и совпадающей с прямолинейной образующей в цилиндрической части тела. Задача имеет практическое значение для подводных снарядов цилиндрической формы, так как позволяет определить форму тела и поле скоростей. Длина головной части (вдоль оси), как свободный параметр в данной задаче, может быть использован для постановки дополнительного требования по условиям обтекания, или другого. Приведены примеры численных расчетов по форме образующей головной части и по величине скоростей на них.

В выводах формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении 1 вычислены комбинаторные суммы вида п I I к=О для т=1, 2, 3. Суммы для случаев т=2, 3 автору в известных справочниках и книгах по комбинаторике не встречались.

В приложении 2 приведена таблица интегралов, использованных в главе 3. Некоторые из них будут включены в новое издание известного справочника по интегралам и рядам /59/.

В приложение 3 вынесены громоздкие вычисления некоторых параметров из главы 3.

Далее прилагается акт внедрения результатов настоящей работы.

Настоящая диссертация выполнена автором в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /16−24/ и докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах: конференция молодых специалистов Восточно-Сибирского отделения института «Гидропроект» им. С. Я. Жука (г. Красноярск, 1980) — областная математическая конференция (г. Иркутск, 1981) — Всесоюзная школа по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 1980) — III Всесоюзная школа-семинар по гидродинамике больших скоростей (г. Красноярск, 1987) — IV Всесоюзная школа по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 1989), а также на семинарах по гидродинамике больших скоростей на кафедре «Механики жидкости и газа» Красноярского политехнического института, под руководством д. т. н., проф. В. М. Ивченко.

Основные результаты работы следующие:

1. Проведен наиболее полный математический анализ точности обычного метода дискретных вихрей с равномерным распределением. Впервые получены аналитические оценки точности расчетных параметров, полученных данным методом. Показана эффективность применения в методе дискретных вихрей варианта неравномерного распределения, соответствующего квадратуре для сингулярного интеграла типа Коши. Неравномерное распределение дискретных вихрей применено для решения задачи об обтекании тонкого профиля вблизи экрана.

2. Для численного решения линеаризованных задач суперкавитационного обтекания профилей предложена модификация метода дискретных особенностей. Произведено сопоставление результатов, получаемых данным способом с результатами, полученными аналитически и обычным методом дискретных особенностей на тестовой задаче. Оно показало, что как суммарные, так и локальные гидродинамические параметры рассчитываются модифицированным методом дискретных особенностей намного точнее, чем обычным.

3. Дано более полное, в сравнении с известным, аналитическое решение задачи об обтекании суперкавитирующей прямой решетки тонких профилей. Оно использовано как тестовое для метода дискретных особенностей.

4. Метод дискретных особенностей применен в постановке и решении двух задач профилирования обтекаемых поверхностей. Приведены примеры численных расчетов для конкретных параметров.

5. Решенные в работе задачи доведены до программ для ЭВМ и могут использоваться для получения конкретных результатов и для систематических расчетов.