Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра

Актуальность темы

В настоящей работе изучается нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным и зависит от параметра. При фиксированном значении параметра известно управление, которое переводит объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Задача исследования: выяснить вопрос о зависимости свойства управляемости системы от малых изменений параметра.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [5, 9−11, 16, 18, 30, 44, 49−52, 61, 64, 65, 68]. Особый интерес представляют методы исследования и расчета нелинейных управляемых систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, что характерно для большинства реальных объектов.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования пары управление-параметр, разрешающей следующую краевую задачу: х (^)=х0, л^)-*!, (0.1) где х0, х1 — пмерные векторы, ^ - фиксированные числа, х^) — решение системы п дифференциальных уравнений х = /(*,*, га), (0.2) в которой — и-мерная вектор-функция, иекг управление, ЛеЯ" 1 — векторный параметр. Наряду с условиями (0.1) рассматривается система функционалов в которой Ф^, х, и, я) — /-мерная вектор-функция, J0 — 1-мерный вектор.

Методика исследования. Решения системы (0.2) рассматриваются в окрестности известного движения. Требуемое управление отыскивается в виде конечного ряда где — заданная система линейно независимых на отрезке кусочно-непрерывных скалярных функций, — искомые г-мерные векторы. Задача сводится к определению условий существования решений недифференциальной системы уравнений относительно постоянного вектора. Доказательства теорем основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Математическая теория управления возникла сравнительно недавно и успешно развивалась как теория оптимальных процессов [1, 8, 23, 32, 39, 47, 48, 62]. Классическое вариационное исчисление, принцип максимума и методы динамического программирования доставляют необходимые признаки оптимальности, которые могут быть использованы для большинства технических и других приложений. При этом одной из трудных и малоразрешенных проблем остается краевая задача, связанная с необходимок.

0.3) стью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. Известные признаки оптимальности указывают главным образом внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени определенным образом. Задача подбора параметров, которые направляют траекторию в нужную точку, не имеет пока общего эффективного решения. Теоремы существования оптимальных управлений [8, 47] основываются на предпо—ложении о том, что есть возможность построить какое-либо допустимое управление, переводящее фазовую точку в начало координат (начальное состояние объекта принадлежит области управляемости).

Задача определения структуры области управляемости для системы с постоянными параметрами х = Ах+Ви, где хе/?й, иеКг, ||м|| <М>0, рассматривалась многими авторами.

8, 24, 25, 33, 47, 48, 58, 59] и получила исчерпывающее решение.

Нелинейная система х = /(х, и), в которой и^и, имножество кусочно-постоянных вектор-функций, изучалась в статье Алексеева Н. К., Реттиева Н. С. [2]. Для отображения <�р:а-^С (а), ставящего в соответствие каждому, а е (о, со) множество управляемости 0(а), получены условия, при которых число точек разрыва <р не более чем счетное.

В работе [42] Никольским М. С. для системы х = /(х, м) получена оценка изнутри для множества достижимости о (т): 0 еЫК аО (т), где К — некоторый эффективно вычислимый, выпуклый компакт.

Большое внимание проблеме управляемости дифференциальных уравнений уделяется в работе [29] Красов-ского H.H. Для линейной системы х = A (t)x+B (t)u+w (t), x (ta) = xa, x (t?)=x? задача об управлении рассматривается как проблема моментов. Формулируются необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, определена его зависимость от краевых условий. Рассматривается также задача управления квазилинейными объектами, поведение которых в окрестности точки jc = 0 описывается системами вида х = f (t, x)+g (t, x) u, x (ta) = xa, x{?)=§. Предполагается, что система линейного приближения является вполне управляемой на отрезке и с помощью метода последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго порядка малости по.

Исследования квазилинейных систем были продолжены Альбрехтом Э. Г., Соболевым О. Н. в работах [3, 4]. В статье [3] рассмотрена управляемая система х = A (t)x+b (t)u+/jf (x, t) с краевыми условиями x{ta) = xa, x{t?)=x?. В предположении о полной управляемости системы первого приближения указан итерационный метод построения оптимального управления.

В работе [4] для задачи приведения квазилинейной системы в заданное состояние в заданный момент времени обоснована процедура вычисления оптимального управления по принципу обратной связи. Найдены первые интегралы оптимальной синтезированной системы.

Jt" .

Проблеме синтеза управлений, разрешающих задачу перехода из одного фиксированного фазового состояния в другое фиксированное фазовое состояние, много внимания уделяется Зубовым В. И. [22]. В ряде случаев им найдена конструкция в синтезированной форме семейства требуемых управлений для линейных и квазилинейных систем, развиваются методы последовательных приближений для отыскания движений, удовлетворяющих краевым условиям (0.1).

Большое количество работ посвящено исследованию свойств локальной управляемости нелинейных систем [3538, 40, 43, 53, 56]. В работах [53, 56] рассматриваются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми. Исследуется проблема определения множества, в любой точке которого система управляема.

Митрохин Ю.С., Степанов А. Н. [36−38] исследовали системы вида x = f (x)+Bu. В критических случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимые и достаточные условия управляемости нелинейных систем в малом.

В статье [40] Нарманов А. Я., Петров H.H. рассматривают вопросы о структуре множества управляемости, в частности о его размерности и границе.

В работе Пантелеева В. П. [43] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы x = A (t)x+b (t, u).

Задача попадания произвольной точки в начало координат подробно изучена Мастерковым Ю. В. [35]. Им исследовались множества локально управляемых (5?), устойчиво управляемых {Л) и А/-управляемых (.Л) систем. Доказано, что эти понятия не равносильны и установлены включения: Таким образом, выяснено, что свойство ТУ-управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости.

Вопросы существования управлений, разрешающих краевую задачу решались различными методами [57, 63, 66, 67, 7]. М. Т. Терехин, Л. С. Землякова [18−21, 55] предлагают, например, метод вариации промежуточной точки. Е. В. Воскресенский, П. Г. Черников [12−14] используют разновидность метода сравнения: для исследуемой системы дифференциальных уравнений подбирается система сравнения, для которой аналогичная краевая задача является решенной, путем сравнения двух систем строится оператор сжатия, неподвижная точка которого может быть найдена методом последовательных приближений. Широкое распространение в нелинейной механике и особенно в теории колебаний получил метод усреднения, при использовании которого системе с периодической по г правой частью ставится в соответствие автономная система. В работах [7, 45] были предложены и обоснованы алгоритмы усреднения уравнений в случаях различных ограничений, налагаемых на управление.

Проблема зависимости свойства управляемости от параметра исследовалась М. Т. Терехиным в работе [54].

Содержание работы. В отличие от работ [3, 4, 36−38] настоящая работа содержит результаты исследования системы, являющейся нелинейной и по фазовым переменным, и по управлению. В то время как Красовский Н. Н. [29], Зубов В. И. [22], Альбрехт Э. Г., Соболев О. Н. [3, 4] основывались на предположении о полной управляемости системы линейного приближения, в предлагаемой диссертации не требуется обязательного выполнения данного условия (за исключением теорем восьмого параграфа). Критические случаи изучались и ранее^ но приводимые в работах [36−38] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по х высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю. В. [35] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. Кроме того, в отличие от других работ, сформулированные в настоящей работе условия управляемости определяют признаки существования специальных управлений в виде разложений в ряд по известным базисным функциям, что позволяет сделать важные выводы при решении прикладных задач.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глай, разбитых на параграфы.

В § 1 главы 1 описывается постановка задачи, вводятся основные определения, рассматриваются примеры нелинейных управляемых систем. В § 2 исследуемая система сводится к более удобному для изучения виду. Вводится замена переменных, определяются линейные составляющие решения системы. В § 3 содержится описание метода сведения задачи к системе недифференциальных уравнений относительно постоянного вектора. Предложен способ определения вида решения нелинейной системы с точностью до членов нужного порядка.

Вторая глава посвящена изучению условий устойчивости свойства управляемости системы (0.2) при малых изменениях параметра. В § 4 исследуется случай, когда для положительного ответа на вопрос задачи достаточно рассмотрение линейной части системы (0.2), найдены оценки допустимых отклонений управления и параметра от заданных значений, при которых сохраняется свойство управляемости системы (0.2). Полученные результаты рассмотрены на примере решения задачи о периодических колебаниях численностей популяций в системах «хищник-жертва» и задачи исследования движения спутника вокруг материальной точки большой массы. В § 5, § 6 установлены критерии управляемости системы (0.2) в критических случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по параметру, управлению и фазовым переменным членов системы (0.2). Приводится пример решения краевой задачи движения материальной точки переменной массы в однородном поле силы тяжести.

В § 7 главы 3 рассмотрен случай полной управляемости системы линейного приближения. Найдены условия разрешимости задачи (0.1)-(0.3), предложен способ определения ее решения методом последовательных приближений. В § 8 исследуется вопрос о единственности управления, разрешающего краевую задачу при фиксированном значении параметра. Получены достаточные условия существования множества таких управлений, причем применение некоторых из предлагаемых теорем не требует знания фундаментальной матрицы для соответствующей линейной системы.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [6, 46, 60], по качественной теориииз [17, 41], по функциональному анализу — из [34, 26−28], по линейной алгебре — из [15, 31].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Условия управляемости системы (0.2)> получаемые при использовании матриц линейного приближения.

2. Алгоритм исследования задачи в случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по управлению, параметру и фазовым переменным членов уравнения (0.2).

3. Критерии существования множества управлений, разрешающих краевую задачу при фиксированном значении параметра.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Дубне, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, на IV Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на заседаниях V Крымской Между.

12 народной математической школы «Метод функций Ляпунова и его приложения» в г. Алуште, на семинаре Средне-волжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского, на Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения в математической экономике» в г. Тамбове.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [69−78].

Заключение

.

Работа посвящена изучению нелинейной управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследовался вопрос о разрешимости краевой задачи при малых изменениях параметра. Применялся метод разложения управления в конечный ряд по заданным базисным функциям. Теоремы существования требуемых управлений доказываются с использованием метода неподвижной точки нелинейного оператора. Для частного случая полной управляемости соответствующей линейной системы предложен способ определения управления и решения с помощью метода последовательных приближений. Рассмотрен случай, когда требуется коррекция заданного решения на малом участке траектории. Соответствующие теоремы доставляют признаки разрешимости последней задачи, не требующие вычисления фундаментальной матрицы линейной системы, что является важным при исследовании неавтономных систем.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи из различных областей физики, экологии.