Решение экстремальных задач теории приближений в комплексной плоскости

Актуальность темы

.

Работа посвящена проблемам приближения многочленами и их обобщениями на замкнутых подмножествах единичной окружности. Один из важнейших кругов вопросов теории приближений на замкнутых множествах объединяется названием «полиномы и рациональные дроби, наименее уклоняющиеся от нуля» и берёт начало с мемуара П. Л. Чебышёва «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов», представленного в Академию Наук в 1853 году Эта тематика занимала центральное место в теории приближении на начальном этапе её развития — этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей. П. Л. Че-бышёв нашёл точные решения ряда задач, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функции различными методами, их сравнении между собой и т. д. (подробнее см., например, обзор [39]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач, имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовём лишь некоторые из них: вычислительная математика, математическая физика, квантовая химия, электротехника, физика твёрдого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышёва посвящены монографии [31, 73], в каждой книге по теории приближений обязательно есть разделы с изложением их основных свойств. Сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарёва, Ахиезера и др.) содержат обзоры [38, 54, 55, 58, 59, 64, 66, 79]. Приведём более подробные сведения по поводу полипомов по чебышёвским системам, наименее уклоняющимся от нуля.

Рассматриваются «рациональные тригонометрические» функции вида гк (Ф) =.

A eos уí-p + В sin уу? + ai cos (у — l).

j^j sin (у — [у]) ip.

7Ш 5 ' (1).

N 6 NЛ, В е R, А2 + В2 0, — фиксированные числа;

A (if) — фиксированный действительный тригонометрический полином порядка, а < 7V, положительный на заданной конечной системе отрезков = [а-1, а2] U. U [a.2/-i, Л'2г], аг < а2 <. < a2?, 0 < a2i ~ ai < 27гих алгебраические аналоги.

XN + CiXN~l +. + Сдг, V.

V^J л/Ж^У где А (а-) — фиксированный действительный многочлен степени, а < N, положительный на Е С [—1,1].

П. Л. Чебышёв [47, 48] нашёл дроби вида (2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [—1,1], в случаях А{х) = 1 и А{х) = С^)2(х), где С^(х) — многочленА. А. Марков [28] привёл другую форму решения этой задачи, а также и более общего случая (Е = [—1,1], А — произвольный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышёва-Маркова. Следует отметить монографию [36], посвященную теории этих рациональных функций, а также работу В. К. Дзя-дыка [56], в которой приводятся другие представления этих функций, через многочлены Чебышёва.

Случай двух отрезков Е = [—1,а] и [6,1], А (х) = 1 полностью решён Н. И. Ахиезером в работах [49−52], Е = [-1, а]и[6,1], А{х) = <22(х), где С}(х) -произвольный необращающийся в нуль на Е многочлен, — А. Л. Лукашовым в работе [16]. Найденное Н. И. Ахиезером представление многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, зависит от геометрии системы отрезков. Полное описание решения распадается на несколько возможных форм представления, использующих либо эллиптические, либо автоморф-ные (в [52]) функции. Отметим, что в случае возможности использования эллиптических функций эти многочлены Ахиезера по сути совпадают с многочленами Золотарёва (см., например, [59], где обсуждаются и другие близкие вопросы). Многочленам Золотарёва [10], т. е многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на Е = [—1,1] в равномерной норме, с двумя фиксированными старшими коэффициентами, посвящена обширная литература (см., в частности, обзоры [54, 79]). Отметим здесь работы А. Б. Богатырёва [5] н В. А. Малышева [27], в которых был существенно развит и дополнен подход Н. Н. Меймана [29, 30] и получено качественное описание решения сущесу ственно более общей задачи. Для Л (х) = {а? — ж2)", [— 1, — а] и [а, 1] дроби Чебышёва-Маркова были выписаны в эллиптических функциях в [60]. Кроме того, И. Я. Тырыгин [40] свёл построение знакопостоянных многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, к нахождению многочленов, наименее уклоняющихся от нуля с весом на двух отрезках.

Перейдём к случаю Е — [0,1,(22] и. и aoi-1,^2/], А{х) = 1. «Базовым» здесь является тот случай, когда Е — прообраз отрезка при полиномиальном отображении. Этот случай может быть охарактеризован в различных терминах (см., например, обзор [38]), и тогда для степеней вида N = пт, где п — степень полиномиального отображения, многочлены Чебышёва весьма просто выражаются через обычные многочлены Чебышёва и полином, осуществляющий упомянутое отображение (вариации на эту тему можно найти в [15, 74, 75, 77]). Вопрос эффективного нахождения «базового» случая, фактически подходящего для рассматриваемого множества Е и степени Л^, остаётся открытым до сих пор. Существенное продвижение в решении этого вопроса получено в [4], хотя оно применимо лишь при наличии дополнительной информации об искомом решении. Отметим также работу [81], содержащую ряд результатов об асимптотиках многочленов Чебышёва для общих компактов комплексной плоскости.

Тригонометрический аналог дробей Чебышёва-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [76] (для S ~ [0,2тг]). Случай / = 1, Л = 1 неявно содержится в [7, 8]. Случай / = 2, Л = 1 и симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в [14]- А. П. Петухов [32, 33] применил тригонометрические аналоги простейших вариантов многочленов Ахиезера для хаусдорфовой аппроксимации. Характеризации «базового» случая в общей постановке для, А = 1 имеются в [70, 71]. Следует отметить, что для несим-метричпо расположенных отрезков формальное сведение к действительному алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены coscp = х невозможно.

Полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на этой системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из многочлена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков, дано в ряде работ A. J1. Лукашова [17−19, 61, 62], ставших частью его докторской диссертации. Там же получены представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов на нескольких отрезках.

Вопросы приближения функций комплексного переменного получили свое развитие несколько позже, чем аналогичные вопросы для функций действительного переменного. Необходимые и достаточные условия того, что заданный полршом был для непрерывной функций полиномом наилучшего приближения на ограниченном множестве, (аналог теоремы Чебышёва об альтернансе) получены А. Н. Колмогоровым [13] в 1948 году. В частном случае эта теорема была доказана Тонелли [80]. В форме, отличной от теоремы Колмогорова, но иногда более удобной для приложений, необходимые и достаточные условия указали в своих работах Е. Я. Ремез [34, 35], В. К. Иванов [11, 12], В. С. Виденский [6]. Этим и другим вопросам приближения функций комплексного переменного в равномерной метрике посвящены монографии В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [37], В. К. Дзядыка [9]- вопросы, связанные с интерполяцией и аппроксимацией рациональными функциями в комплексной области, рассматривались в монографии Дж. Л. Уолша [46].

Комплексные многочлены Золотарёва для чисто мнимых значений второго коэффициента р, р = it, были найдены Р. Фройпдом [57] при t < 1, Тираном и Дэтеем [78] при t > 1. В работе [78] помимо указанного было также выписано решение задачи о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля на [—1,1] и удовлетворяющем дополнительному интерполяционному условию P (it) — 1. Решение задачи о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля на отрезке и удовлетворяющем общему интерполяционному условию Р (а) — 1, а? С, дано в [82]. Ряд задач наилучшего приближения на компактных множествах комплексной плоскости был решен в работах Ф. Пе-херсторфера и его учеников [65, 67, 68, 70].

Известно, что полиномы Чебышёва, нули которых расположены на фиксированном компакте комплексной плоскости, применяются, например, при изучении свойств его трансфинитного диаметра, для оценки оптимальной ошибки экстраполяции с конечного множества целых функций из класса Винера [24]. Поэтому задачи о многочлене с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняющемся от нуля на нескольких дугах единичной окружности, нули которого расположены па этих дугах, и их рациональных аналогах весьма актуальны.

В работе И. В. Белякова [3] была рассмотрена задача наименьшего уклонения от нуля отображений Чебышёва, свойства которых во многом повторяют свойства классических многочленов Чебышёва, на дельтоиде (области Штей-нера). В связи с этим представляют интерес аналоги таких отображений для рациональных функций с фиксированным знаменателем — так называемые квазиполиномы.

Цель работы.

Целью настоящей работы является решение следующих задач:

1. найти многочлен с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняющийся от нуля на нескольких дугах единичной окружности, нули которого расположены на этих дугах;

2. найти рациональную функцию с фиксированными знаменателем и старшим коэффициентом числителя, наименее уклоняющуюся от нуля на нескольких дугах окружности, с нулями на этих дугах;

3. найти многочлен с фиксированными старшим и свободным коэффициентами, наименее уклоняющийся от нуля на произвольной дуге окружности;

4. построить представляющий собой линейную комбинацию произведений Бляшке обобщённый полипом (квазиполином), наименее уклоняющийся от нуля на единичной окружности;

5. найти комплексный многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на двух отрезках и удовлетворяющий дополнительному интерполяционному условию.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяются общие методы функционального анализа, теории функции комплексного переменного, теории потенциала и теории приближений.

Научная новизна.

Все основные результаты являются новыми. В работе найден явный вид многочлена с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля на нескольких дугах единичной окружности, нули которого расположены на этих дугах (в случае рациональности равновесных мер дуг) — этот результат обобщён на случай рациональных функций с фиксированным знаменателем, т. е. найден явный вид рациональной функции с фиксированными знаменателем и старшим коэффициентом числителя, наименее уклоняющейся от нуля на нескольких дугах окружности, с нулями на этих дугах при дополнительных условиях на взаимное расположение дуг и пулей знаменателянайден многочлен с фиксированными старшим и свободном коэффициентами, наименее уклоняющийся от нуля на произвольной дуге окружностипостроен обобщённый полином, представляющий собой линейную комбинацию произведений Бляшке, наименее уклоняющийся от пуля на единичной окружностинайден многочлен чётной степени, наименее уклоняющийся от нуля на двух отрезках и удовлетворяющий дополнительному интерполяционному условию.

Практическая ценность.

Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории ортогональных многочленов и рациональных функцийони могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории функций и приближений и научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета (Саратов, 1998;2009), на Международной конференции по теории приближений и её приложениям, посвящённой памяти В. К. Дзядыка (Киев, 1999), на Международной конференции «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Саратов-Энгельс, 2002), на 11-ой и 13-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002, 2006), на Международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум» (Симферополь, Севастополь, 2004), на 15-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвящённой 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах [21−23, 41−45]. В работах [22, 23] научному руководителю принадлежит постановка задачи, в работе [21] — явное представление полиномов для случая одной дуги (/ = 1).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 82 наименования. Каждая глава разбита на разделы, всего в диссертации 8 разделов. Общий объем работы 104 страницы.

1. Арестов, В. В. О тригонометрических полиномах, наименее уклоняющихся от нуля / В. В. Арестов, А. С. Менделев /¡-Доклады АН. — 2009. — Т. 425, № 6. — С. 733−736.

2. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер.— М.: Наука, 1970.

3. Беляков, И. В. Минимальное отклонение от нуля отображений Чебышё-ва, соответствующих равностороннему треугольнику / И. В. Беляков // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 6. С. 919−921.

4. Богатырёв, А. Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышёва на нескольких отрезках / А. Б. Богатырёв // Матем. сб. — 1999.— Т. 190, № 11. С. 15−50.

5. Богатырёв, А. Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении / А. Б. Богатырёв // Матем. сб.- 2002. Т. 193, № 12. — С. 21−41.

6. Виденский, В. С. О равномерном приближении в комплексной плоскости / В. С. Виденский // Успехи мат. наук.— 1956.— Т. 11, № 5.— С. 169−175.

7. Виденский, В. С. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньше чем период / В. С. Виденский // ДАН СССР. 1960. — Т. 130, № 1. — С. 13−16.

8. Виденский, В. С. О тригонометрических многочленах полуцелого порядка / В. С. Виденский // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-матем. наук.— 1964. Т. 17, № 3. — С. 133−140.

9. Дзядык, В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. — М.: Наука, 1977.

10. Золотарёв, Е. И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля / Е. И. Золотарёв // Полн. собр. соч. М., Л.: Изд-во АН СССР, 1932. — Т. 2. — С. 1−59.

11. Иванов, В. К. Задача о минимаксе системы линейных функций / В. К. Иванов // Матем. сб. 1951. — Т. 28 (70), № 3. — С. 685−706.

12. Иванов, В. К. О равномерном приближении непрерывных функций / В. К. Иванов // Матем. сб. 1952. — Т. 30 (72), № 3. — С. 543−558.

13. Колмогоров, А. Н. Замечание по поводу многочленов П. Л. Чебышёва, наименее уклоняющихся от заданной функции / А. Н. Колмогоров // Успехи матем. наук. — 1948. — Т. 3, вып. 1.— С. 216−221.

14. Крупии^ий, Э. И. Об одном классе полипомов, наименее уклоняющихся от нуля на двух интервалах / Э. И. Крупицкий // Докл. АН СССР.— 1961. Т. 138. — С. 533−536.

15. Лебедев, В. И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках / В. И. Лебедев // Журн. выч. матем. и матем. физ. — 1969. — Т. 9. — С. 1247−1252.

16. Лукашов, А. Л. О задаче Чебышёва-Маркова на двух отрезках / А. Л. Лукатнов // Сарат. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 01.11.1989. № 6615-В89.

17. Лукатов. А. Л. Рациональные функции с заданным четным знаменателем, наименее уклоняющиеся от нуля на двух симметричных отрезках / А. Л. Лукашов // Математика и ее приложения. Сб. научн. тр. — Саратов: Изд-во СГУ, 1991. — Т. 2. — С. 27−28.

18. Лукашов, А. Л. Неравенства для производных рациональных функций / А. Л. Лукашов // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. — Т. 68, № 3. — С. 115 138.

19. Лукашов, А. Л. Рациональные интерполяционные процессы на нескольких отрезках / А. Л. Лукашов // Известия СГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2005.— Т. 5, № 1.— С. 34−48.

20. Лукашов, А. Л. Экстремальные полиномы на дугах окружности с нулями на этих дугах / А. Л. Лукашов, С. В. Тышкевич // Известия HAH Армении. Математика. — 2009. — Т. 44, № 3. — С. 5−14.

21. Лукашов, А. Л. Экстремальные рациональные функции на дугах окружности с нулями на этих дугах / А. Л. Лукашов, C.B. Тышкевич / / Известия СГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика — 2009. — Т. 9, № 1.-С. 8−13.

22. Маергойз, Л. С. Оптимальная ошибка экстраполяции с конечного множества в классе Винера / Л. С. Маергойз // Сиб. мат. журн.— 2000. — Т. 41, № 6. С. 1363−1375.

23. Маергойз, Л. С. Многочлены Чебышёва с нулевым множеством на дуге окружности / Л. С. Маергойз, Н. Н. Рыбакова //Доклады АН. — 2009. — Т. 426, № 1.-С. 26−28.

24. Малышев, В. А. Клеточная структура пространства вещественных полиномов / В. А. Малышев // Алгебра и анализ. — 2003.— Т. 15, № 2.— С. 40−127.

25. Марков, А. А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля / А. А. Марков // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля.— М., Л.: Гостехтеориздат, 1948.-С. 244−291.

26. Мейман, Н. Н. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля / Н. Н. Мейман // Докл. АН СССР. 1960. — Т. 130. — С. 257−260.

27. Мейман, Н. Н. Решение основных задач теории полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля / Н. Н. Мейман // Тр. Моск. мат. об-ва. 1960. — Т. 9. — С. 507−535.

28. Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва / С. Пашковский. — М.: Наука, 1982.

29. Петухов, А. П. Об ужах и приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа / А. П. Петухов // Analysis Mathem.— 1985.— Vol. 11.— Pp. 55−73.

30. Петухов, А. П. Об оценках производных тригонометрических полиномов / А. П. Петухов // Матем. заметка. — 1987. — Т. 41, № 4. — С. 517 520.

31. Ремез, Е. Я. О приближениях в комплексной плоскости / Е. Я. Ремез // ДАН СССР. 1951. — Т. 77, № 6. — С. 965−968.

32. Ремез, Е. Я. Некоторые вопросы чебышёвского приближения в комплексной плоскости / Е. Я. Ремез // Укр. матем. ж. — 1953.— Т. 5, № 1.-С. 3−49.

33. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. Минск: Изд-во БГУ, 1979.

34. См, ирное, В. И. Конструктивная теория функций комплексного переменного / В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев. — М.: Наука, 1964.

35. Содин, М. Л. Функции, наименее уклоняющиеся от пуля на замкнутых подмножествах вещественной оси / М. JI. Содин, П. М. Юдицкий // Алгебра и анализ. — 1992. — Т. 4, № 2. — С. 1−62.

36. Тихомиров, В. М. Теория приближений / В. М. Тихомиров // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1987. — Т. 14. — С. 103−260.

37. Тырыгин, И. Я. О знакопостоянных полиномах, наименее уклоняющихся от нуля на системе отрезков в пространствах Ьр / И. Я. Тырыгин //Теория прибл.функ. и смежи.вопр.анализа и топол. — Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1987. С. 88−93.

38. Тышкевич, С. В. О квазиполиномах, наименее уклоняющихся от нуля на заданных множествах / С. В. Тышкевич // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. — Т. 5. — С. 118−121.

39. Тышкевич, С. В. Чебышёвские полиномы на дугах единичной окружности / С. В. Тышкевич // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Т. 8. — С. 141−143.

40. Тышкевич, С. В. О чебышёвских полиномах на дугах окружности / С. В. Тышкевич // Матем. заметки. 2007. — Т. 81, № 6. — С. 952−954.

41. Уолш. Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж. Л. Уолш. — М.: ИЛ, 1961.

42. Чебышёв, П. Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций / П. J1. Чебышёв // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 462−578.

43. Чебышёв, П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов / П. JI. Чебышёв // Избранные труды.-— М.: Изд-во АН СССР, 1955.-С. 611−648.

44. Achy es er, N. I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, I / N. I. Achyeser // Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. п. — 1932. — № 9.— С. 1163−1202.

45. Achyeser, N. I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, II / N. I. Achyeser // Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. и. — 1933. — № 3. — С. 309−344.

46. Achyeser, N. I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, III / N. I. Achyeser // Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. и. — 1933. — N2 4. — С. 449−536.

47. Akhyeser, N. I. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen / N. I. Akhyeser // Bull, de Ja Soc Physico-Mathem. de Kazan. Ser. 3. 1928. T. 3, № 2. — C. 1−69.

48. Arestov. V. V. Trigonometrie polynomials of least deviation from zero in measure and related problems / V. V. Arestov, A. S. Mendelev // J. Approx. Theory. — 2010. — Vol. In Press, Corrected Proof. — doi:10.1016/j.jat.2010.07.007.

49. Carlson, В. C. Zolotarev’s first problem the best approximation by polynomials of degree < n — 2 to xn — naxn~1 in —1,1] / В. С. Carlson, J. Todd // Aequation. Math. — 1983. — Vol. 26. — Pp. 1−33.

50. Driscoll, T. A. From potential theory to matrix iterations in six steps / T. A. Driscoll, K. C. Toh, L. N. Trefethen // SIAM Rev.- 1998. Vol. 40.-Pp. 547−578.

51. Dzyadyk, V. K. On a problem of Chebyshev and Markov / V. K. Dzyadyk // Analysis Math.- 1977.-Vol. 3, no. 3. Pp. 171−175.

52. Freund, R. On some approximation problems for comlex polynomials / R. Freund // Const. Approx. 1988. — Vol. 4. — Pp. 111−121.

53. Lebedev, V. I. Zolotarev polynomials and extremum problems / V. I. Lebe-dev // J. Numer. Aval Math. Modelling. 1994. Vol. 9. Pp. 231−263.

54. Lukashov, A. L. On Chebyshev polynomials over disjoint compact sets / A. L. Lukashov // Modern complex analysis and applications. Proc. Conf. ded. to J. Korevaar. — Amsterdam: Univ. Amsterdam, 1993. — Pp. 111−120.

55. Lukashov, A. L. On Chebyshev-Markov rational function over several intervals / A. L. Lukashov // J. Approx. Theory. 1998.— Vol. 24.— Pp. 333 352.

56. Lukashov, A. L. Zeros of polynomials orthogonal on two arcs of the unitcircle / A. L. Lukashov, F. Peherstorfer // J. Approx. Theory. — 2005. — Vol. 132. Pp. 42−71.

57. Peherstorfer, F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals / F. Peherstorfer // J. Comp. Appl. Math. 1993. — Vol. 48. — Pp. 187−205.

58. Peherstorfer, F. Explicit generalized Zolotarev polynomials with complex coefficients / F. Peherstorfer // Const. Approx. — 1997. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 261−269.

59. Peherstorfer, F. Minimal polynomials on several intervals with respect to the maximum-norm a survey / F. Peherstorfer // Complex methods in approximaion theory / Ed. by A. M. Finkelshtein et al. — Almeria: Univ. Almeria, 1997. — Pp. 137−159.

60. Peherstorfer, F. Explicit generalized Zolotarev polynomials. il / F. Peherstorfer, K. Schiefermayr // East. J. Approx. 1997. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 473 483.

61. Peherstorfer, F. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle / F. Peherstorfer, R. Steinbauer // J. Approx. Theory. — 1996. — Vol. 85. — Pp. 140 184.

62. Peherstorfer, F. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle. Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients / F. Peherstorfer, R. Steinbauer // J. Approx. Theory. 1996. — Vol. 87. — Pp. 60−102.

63. Peherstorfer, F. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green’s function / F. Peherstorfer, R. Steinbauer // SIAM J. Math. Anal- 2000. Vol. 32. Pp. 385−402.

64. Ransford, T. Potential theory in the complex plane / T. Ransford. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

65. Rivlin, T. J. Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory / T. J. Rivlin. — 2nd edition. — N.Y.: Wiley and Sons, 1990.

66. Robinson, R. M. Conjugate algebraic integers in real point sets / R. M. Robinson // Math. Zeit. 1964. — Vol. 84. — Pp. 415−427.

67. Robinson, R. M. Intervals containing infinitely many sets of conjugate algebraic units / R. M. Robinson // Ann. Math. — 1964. Vol. 80. Pp. 411 428.

68. Szego, G. On a Problem of the Best Approximation / G. Szego // Abh. Math. Univ.Hamburg. 1964. — Vol. 27. — Pp. 193−198.

69. Talbot. A. On a class of TschebyshefRan approximation problems solvable algebraically / A. Talbot // Proc. Cambr. Phil. Soc.~ 1962. Vol. 58.— Pp. 244−266.

70. Thiran, J. P. On two complex Zolotarev’s first problem / J. P. Thiran, C. Detaille // Const. Approx. 1991. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 441−451.

71. Todd, J. Applications of transformation theory: a legacy from Zolotarev1847−1878) / J. Todd // Approximation theory and spline functions / Ed. by S. R. Singh. Dordrecht: Dr. Reidel Publ., 1978. Pp. 207−245.

72. Tonelli, L. I polinomi d’approssimazione di Tchebychev / L. Tonelli // Ann. di Math. 1908. — Vol. 15, no. 3. — Pp. 47−119.

73. Widom, H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane / H. Widom // Adv. Math. — 1969. Vol. 3. — Pp. 127−232.

74. Yuditskii, P. A complex extremal problem of Chebyshev type / P. Yudit-skii // J. analyse mathem.— 1999. — Vol. 77. — Pp. 207−235.