Среднеквадратичная ошибка случайных измерений
Форма кривых Гаусса устанавливает, насколько часто должны появляться ошибки той или иной величины. Видно, что чем больше дисперсия случайной величины, тем шире кривая и ниже ее пик. Таким образом, для большой дисперсии вероятность, пропорциональная p (x), слабо спадает при отклонении от истинного значения x0. Наоборот, для малой дисперсии вероятность получить такое же измерение мала. Значение… Читать ещё >
Среднеквадратичная ошибка случайных измерений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Форма кривых Гаусса устанавливает, насколько часто должны появляться ошибки той или иной величины. Видно, что чем больше дисперсия случайной величины, тем шире кривая и ниже ее пик. Таким образом, для большой дисперсии вероятность, пропорциональная p (x), слабо спадает при отклонении от истинного значения x0. Наоборот, для малой дисперсии вероятность получить такое же измерение мала. Значение характеризует качество методики измерения: чем меньше дисперсия, тем лучше методика.
В реальном эксперименте мы имеем конечное число испытаний n. Поэтому, как и для среднего арифметического, вводится величина, характеризующая среднее отклонение случайной величины x от xср; она называется средне-квадратичным отклонением (ошибкой):
Оказывается, что при сколь угодно большом числе измерений, средне-квадратичная ошибка стремится к дисперсии:
и чем больше n, тем точнее равенство: Sn?. Очевидно, что из опыта мы можем найти только Sn.[3. c. 35].
Доверительная вероятность
Плотность вероятности p (x) характеризует вероятность получить значение случайно величины x с точностью dx. Таким образом, p (x)dx есть вероятность измерить в эксперименте значение x в пределах dx. Полная вероятность P получить в измерен x0— Дx? x? x0+ Дx дается площадью под кривой распределения p (x); математически площадь вычисляется через интеграл (Рис. 2):
Эта вероятность называется надежностью или доверительной вероятностью. Итак, б — это вероятность того, что единичный результат измерения отличается от истинного на величину, не большую Дx. Величина Дx называется доверительным интервалом. Вероятностное описание случайных измерений приводит нас к важному выводу: понятие измерения включает в себя среднее арифметическое величины (измеряемой прямо или косвенно), доверительный интервал Дx и доверительную вероятность б получить результат измерения с допуском в этом интервале. 1. c.35].
Для любой величины Дx по формуле для нормального распределения (Формула Гаусса) может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность б. Эти вычисления были проделаны и их результаты были сведены в таблицу 1:
В таблице фигурирует относительная величина =Дx/. Чтобы воспользоваться таблицей 1, необходимо знать дисперсию; ее находят приближенно, приравнивая средне-квадратичной ошибке Sn; последняя вычисляется подстановкой экспериментальных данных. Одна из задач обработки случайных измерений сводится к заданию доверительной вероятности и нахождению соответствующего ей доверительного интервала. Возможна и обратная задача: задается Дx, а находится б. 1. c. 38] Например, доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу Дx=(=1), есть 0.68;
Видно, что чем больше доверительный интервал, тем выше доверительная вероятность (надежность). Это очевидно из Рис.2: заштрихованная площадь под кривой тем больше, чем больше интервал Дx. В тех случаях, где необходима высокая надежность (военная техника, авиация, космонавтика и др.) допуск становится несколько. Чтобы в этом случае техника четко работала надо резко снижать дисперсию, что достигается с помощью высоких технологий.