Функции комплексного переменного

Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, причина появления которых заключается в том, что условие для существования производной функции комплексного переменного, как будет видно из дальнейшего, является несравненно более ограничительным, чем условие для существования производной функции действительного переменного.

Дадим независимому переменному приращение и вычислим вызванное этим приращением приращение однозначной функции.

Если существует предел отношения при стремлении к нулю по любому закону, то этот предел называется производной функции в точке ?? и обозначается.

Требование существования предела отношения и его независимость от закона стремления к нулю накладывает на функцию значительно более сильные ограничения, чем аналогичное требование для функции действительного переменного. Так, если функция имеет производную, то это значит, что существует предел отношения при приближении точки к точке по двум направлениям: слева (при) и справа (при), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции комплексного переменного означает существование предела отношения при приближении точки к точке по любому пути, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и совпадение всех этих пределов.

Пусть Тогда.

Где.

И.

В этих обозначениях.

Пусть функция имеет производную в точке; тогда предел (1) существует и не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при, т. е. при приближении точки по прямой, параллельной оси (рис.18), получим:

Выбрав т. е. устремляя точку по прямой, параллельной оси (рис. 19), получим:

Так как предел отношения не должен зависеть от закона стремления к нулю, то из (2) и (3) следует, что.

Или.

Эти условия, называемые условиями Коши-Римана или условиями Даламбера-Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой функция имеет производную.

Рис. 18.

Рис. 19.

При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать существование полных дифференциалов функций, можно доказать, что условие Коши-Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции .

Действительно, если функции имеют полный дифференциал, то.

где и Каково бы ни было, имеем.

Заменив на основании условий Коши-Римана в числителе правой части.

.

Получим.

Так как, то.

Но величина стремится к нулю при, т. е. при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось к нулю, из (5) получим.

и достаточность условий Коши-Римана для существования доказана. Мы снова пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции по комплексному переменному (если оно возможно) равносильно вычислению частной производной по .

Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической или голоморфной в этой области.

Пример 1. Выяснить, является ли аналитической функция.

Решение. Если откуда.

Следовательно, условие Коши-Римана не выполнено. Значит, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Пример 2. Доказать, что функция.

является аналитической на .

откуда.

следовательно, функция непрерывна на .

Условия Коши-Римана аналитичности функции.

выполнены, следовательно, функция является аналитической на .

Таким образом, мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке, правую и левую производные и функции комплексного переменного.