Постановка задачи.
Решение нелинейных уравнений
На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью e > 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, …, xn, …, которые являются приближениями к корню x*. Значение x*, при котором f (x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (1). нелинейный… Читать ещё >
Постановка задачи. Решение нелинейных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Пусть дана некоторая функция f (x) и требуется найти все или некоторые значения x, для которых.
f (x) = 0. (2.1).
Значение x*, при котором f (x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (1). нелинейный погрешный вычислительный процесс Относительно функции f (x) часто предполагается, что f (x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.
Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f (x) в точке x* не равна нулю, т. е. f '(x*) 0. Если же f '(x*) = 0, то корень x* называется кратным корнем.
Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f (x) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f (x), имеющей четыре корня: два простых (xи x) и два кратных (xи x).
Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).
Основные этапы отыскания решения
В процессе приближенного отыскания корней уравнения (1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня.
Локализация корня заключается в определении отрезка [a, b], содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. В некоторых случаях отрезок локализации может быть найден из физических соображений. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f (x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием для этого служит следующая теорема математического анализа.
Теорема 1.1. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f (a)f (b) < 0, то отрезок [a, b] содержит по крайней мере один корень уравнения f (x) = 0.
Однако, корень четной кратности таким образом локализовать нельзя, так как в окрестности такого корня функция f (x) имеет постоянный знак.
На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью e > 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, …, xn, …, которые являются приближениями к корню x*.