Метод секущих (метод хорд)

В этом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона.

Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка.

Если производную заменить ее приближением:

f '(x_n) " ,.

то вместо формулы (2.13) получим.

x_{n +1} = x_n -.. (2.20).

Это означает, что касательные заменены секущими. Метод секущих является двухшаговым методом, для вычисления приближения x_{n +1} необходимо вычислить два предыдущих приближения x_n и x_{n — 1}, и, в частности, на первой итерации надо знать два начальных значения x₀ и x₁.

Формула (2.20) является расчетной формулой метода секущих. На рис. 9 приведена геометрическая иллюстрация метода секущих.

Рис. 2.9.

Очередное приближение x_{n +1} получается как точка пересечения с осью OX секущей, соединяющей точки графика функции f (x) с координатами (x_{n -1, f}(x_{n — 1})) и (x_n, f (x_n)).

Сходимость метода. Сходимость метода секущих устанавливает следующая теорема.

Теорема 1.4 Пусть x^* — простой корень уравнения f (x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема, причем f" (x) № 0. Тогда найдется такая малая s-окрестность корня x^*, что при произвольном выборе начальных приближений x₀ и x₁ из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.20) сходится и справедлива оценка:

|x_{n + 1} — x^*| Ј C |x_n — x^*| ^p, n і 0, p = «1.618. (2.21).

Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает, что p < 2, и метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих — только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать примерно вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

Так же, как и метод Ньютона, при неудачном выборе начальных приближений (вдали от корня) метод секущих может расходиться. Кроме того применение метода секущих осложняется из-за того, что в знаменатель расчетной формулы метода (2.20) входит разность значений функции. Вблизи корня эта разность мала, и метод теряет устойчивость.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода секущих такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности e > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство.

|x_n — x_{n — 1}| < e. (2.22).

Пример

Применим метод секущих для вычисления положительного корня уравнения 4(1 — x²) — e^x = 0 с точностью e = 10^-3.

Корень этого уравнения находится на отрезке [0, 1], так как f (0) = 3 > 0, а f (1) = -e < 0. Подсчитаем вторую производную функции: f «(x) = -8 — e^x. Условие f (x)f «(x) і 0 выполняется для точки b = 1. В качестве начального приближения возьмем x₀ = b = 1. В качестве второго начального значения возьмем x₁ = 0.5. Проведем вычисления по расчетной формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 4.

Таблица 4.