Теорема Лиувилля. 
Статистическая физика и термодинамика

Рассмотрим малый элемент объёма фазового пространства:

Вследствие движения каждой точки по фазовой траектории форма этого элемента будет изменяться достаточно произвольным образом, однако величина его при этом остаётся неизменной. Это утверждение и составляет содержание теоремы Лиувтля. Докажем ее.

Точки фазового пространства не могут возникать и исчезать (также как не могут исчезать и возникать сами механические системы, которые эти точки изображают). Математическим выражением закона сохранения числа частиц является уравнение непрерывности.

где р — плотность частиц, j — вектор плотности потока частиц, который численно равен числу частиц, протекающих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную вектору j. В декартовой системе координат дивергенция определяется выражением:

а вектор j равен vp, где v — скорость частицы (то есть вектор с компонентами х, у, z).

В фазовом пространстве в роли координат выступают 5 значений обобщённых координат q_t и s значений обобщённых импульсов р_п соответственно роль скоростей будут играть с/, и р_г Тогда выражением закона сохранения числа точек фазового пространства будет уравнение.

где у — число точек фазового пространства в единице объёма.

Раскрывая производные произведения, получим:

Так как у = У (А^то

Поэтому уравнение (1.5) принимает вид:

Учтём теперь, что каждая частица системы движется по законам классической механики и, следовательно, координаты и импульсы частиц удовлетворяют каноническим уравнениям движения где II — функция Гамильтона системы. Тогда.

и из (1.6) получаем, что.

или

Поскольку число точек в фазовом пространстве не изменяется с течением времени, то последнее равенство означает, что элементарный объем в фазовом пространстве, перемещаясь с течением времени, остаётся постоянным по величине:

где clY — элементарный фазовый объем в произвольный момент времени Л Из сохранения бесконечно малых элементов фазового объёма следует и сохранение его конечных частей.