Исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова об экстремальных значениях интегралов

Во многих работах П. JI. Чебышева и А. А. Маркова рассматривается задача о нахождении предельных величин интегралов при некоторых интерполяционных условиях. Интересная сама по себе, эта экстремальная задача явилась исходным пунктом исследований в различных направлениях (экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема моментов, чебышевские и марковские системы функций).

Пусть дан сегмент и конечная система чисел. Требуется найти такую положительную функцию, что выполняются условия и, кроме того, интеграл при фиксированных и и v (а? и? v? b) имеет минимальное (или максимальное) значение. Эту задачу рассматривал П. JI. Чебышев в 1874 г. при различных условиях (n — четное либо отдельно n — нечетное, и = а либо v = b).

В 1884 г. А. А. Марков в работе, «О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей» обобщил приведенную выше задачу П. JI. Чебышева следующим образом.

Пусть на сегменте [a, b] дана некоторая функция g (х). Вместо функционала (2) А. А. Марков рассматривает функционал и ставит задачу об определении экстремальных значений этого функционала при тех же условиях (1).

В 1896 г. вышла работа А. А. Маркова «Новые приложения непрерывных дробей». В этой работе искомая функция f (х) удовлетворяет условию, а функция, определяющая функционал (3), непрерывно дифференцируема раз на сегменте, причем производная g (n+1) (x) сохраняет знак. При условиях (1) и (4) А. А. Марков находит максимум и минимум интеграла (3) и определяет обе экстремальные функции. Исследуя эту экстремальную задачу, А. А. Марков подробно изучает разложения в непрерывные дроби двух выражений:

которые рассматриваются при тех же условиях (1) и (4).

Начиная с 1886 г. А. А. Марков в своих работах рассматривает более общую экстремальную задачу, а именно вместо степеней независимого переменного, 1, х, х2,.. ., хп вводится некоторая система непрерывно дифференцируемых на сегменте [a, b] функций Далее вводятся моменты неизвестной функции.

и ищутся экстремумы интеграла (3) при условиях (4) и (6).

Относительно функций (5) предполагается, что для них при x [a, b] положительны все определители.

(7).

При этом А. А. Марков замечает, что положительность определителей (7) нужна только для того, чтобы на полиномы вида.

(8).

можно было бы перенести некоторые свойства обычных алгебраических многочленов. В частности необходимо, чтобы любой нетривиальный полином (8) имел на сегменте не более n нулей. А вспомогательная функция g (х) вместе с системой функций (5) должна удовлетворять дополнительному условию.

(9).

В 1898 г. вышла самая главная работа А. А. Маркова по теории экстремальных задач и проблеме моментов «О предельных величинах интегралов в связи с интерполированием». В книге эта работа занимает 85 с. В этой работе наряду с исследованием экстремальных задач ставятся и частично решаются некоторые вопросы, которые в целом составляют основы теории моментов.

Прежде всего в этой работе А. А. Марков продолжает исследование систем функций (5) при положительности определителей (7). Пусть на сегменте [a, b] дана система точек {xk} с условием.

(10).

В начале работы А. А. Марков доказывает, что если все определители (7) положительны, то при условии (10) определитель (11) тоже положителен.

Первая экстремальная задача в этой работе А. А. Маркова формулируется следующим образом. Пусть даны моменты неизвестной функции.

• (12) и два произвольных числа, А < В. Требуется найти такую функцию f (x), которая удовлетворяет интерполяционным условиям (12) и условию
• (13)

причем интеграл.

(14).

имеет экстремальное значение. При решении этой задачи А. А. Марков замечает, что числа {ск} в равенствах (12) не могут быть произвольными, а должны удовлетворять определенным условиям, и исследует эти условия.

Во второй экстремальной задаче при тех же условиях (12) и (13) вместо интеграла (14) рассматривается интеграл.

(15).

где v фиксировано с условием, а < v? b. При этом функция g (х) удовлетворяет условию (9) с заменой числа n + 1 числом n. Рассматриваются также и другие экстремальные задачи.