Определение функции отклика

При изучении любых объектов необходимо знание закономерностей протекания в них процессов. В тех случаях, когда механизм протекающих в объекте процессов неизвестен, изучают зависимость выходного параметра объекта от изменения факторов, т. е. стараются определить функцию отклика или, другими словами, разрабатывают эмпирическую модель. Изучаемый объект в этом случае представляется в виде «черного ящика» (рис. 12).

Рис. 12. Схематичное представление исследуемого объекта: х, — входные параметры (факторы); у, — выходные параметры; z, — - помехи.

Для получения эмпирических зависимостей собирают статистические данные о состоянии (поведении) объекта, поэтому модели называются статистическими.

Математической моделью объекта будет функция отклика вида:

где у — выходной параметр процесса; х_х, …, x_N- независимые переменные (факторы), варьируемые при постановке эксперимента; Ь_х, …, b_N- коэффициенты эмпирической модели.

При неполном знании механизма изучаемых явлений, аналитическое выражение функции отклика неизвестно, поэтому математическая модель представляется в виде полинома — уравнения регрессии:

где (3₍-, р₍у, р_д — теоретические коэффициенты (коэффициенты регрессии), характеризующие соответственно линейные эффекты, эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты.

Так как результат эксперимента величина случайная и значения выходных параметров отличаются друг от друга, определить можно только так называемые выборочные коэффициенты регрессии: b₀, b_t, b_tJ, b_u, …, которые являются лишь оценками для теоретических коэффициентов регрессии, которые можно было бы получить для генеральной совокупности.

В результате пользуются приближенным уравнением регрессии для выборки экспериментальных данных:

где у — выборочная оценка для у (предсказанное значение выходного параметра); Ь₀ — свободный член уравнения регрессии; b_t, b_tj, b_H — коэффициенты регрессии.

Для получения конкретного вида эмпирической модели (53) необходимо выполнить следующее:

• • определить степень тесноты взаимосвязи между х и у (корреляционный анализ);
• • найти конкретный вид функции (54, 55) и определить значения коэффициентов регрессии Ь_{ (регрессионный анализ);
• • выполнить статистический анализ полученных результатов.