Реферативная часть работы

Методы сглаживания экспериментальных данных

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие погрешности. Поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных.

Выполнение экспериментальных исследований связано с регистрацией численных значений величин, измеряемых с некоторой погрешностью. В связи с этим понятно естественное стремление исследователей уменьшить погрешность измерений до пренебрежимо малых значений.

Функциональное представление зависимостей, полученных в результате измерений достаточно важно еще и как промежуточный этап в изучении сложных зависимостей, когда измеренная величина является составляющей сложных выражений. Такая задача является типичной при моделировании физических процессов, когда какой-либо параметр в уравнении, описывающем физический процесс, задан в виде таблицы данных [1]. Для моделирования процесс, задан в виде таблицы данных [1].

При обработке экспериментальных данных используют аппроксимацию и интерполяцию. Если данные зарегистрированы с погрешностью, то необходимо использовать аппроксимацию — сглаживание данных кривой, не проходящей в общем случае через экспериментальные точки, но отслеживающей зависимость, устраняя возможные ошибки, вызванные погрешностью измерений.

Если погрешность данных мала, то используют интерполяцию, т. е. рассчитывают сглаживающую кривую, проходящую через каждую экспериментальную точку.

Один из наилучших методов аппроксимации — это способ (метод) наименьших квадратов, который был развит усилиями Лежандра и Гаусса более 150 лет назад.

Метод наименьших квадратов позволяет получать наилучшую функциональную зависимость по набору имеющихся точек (наилучшую означает, что сумма квадратов отклонений минимальна).

В результате эксперимента получается набор значений функций (у1, у2, …, уn) для значений аргумента (х1, х2, …, хn).

Если соединить последовательно точки у1, у2, …, уnломаной линией, она не является графическим изображением функцииу=f (х), так как при повторении данной серии опытов мы получим ломаную линию, отличную от первой. Значит, измеренные значения у будут отклоняться от истинной кривой у = f (х)вследствие статистического разброса. Задача состоит в том, чтобы аппроксимировать экспериментальные данные гладкой (не ломаной) кривой, которая проходила бы как можно ближе к истинной зависимости у = f (х).

Теория вероятности показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Метод нахождения кривой, соответствующей этому условию, и называется методом наименьших квадратов (МНК). Фактически это условие минимума соответствует предположению, что разброс точек у относительно кривой у=f (х) подчиняется закону нормального распределения.

Регрессионный анализ применяют для получения зависимостей в процессах, в которых параметры зависят от многих факторов. Часто между переменными x и y существует связь, но не вполне определенная. В самом простом случае одному значению x соответствует несколько значений (совокупность) y. В таких случаях связь называют регрессионной.

Таким образом, функция y = f (x) является регрессионной (корреляционной), если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения y. Установление регрессионных зависимостей между величинами x и y возможно лишь тогда, когда выполнимы статистические измерения.

Статистические зависимости описываются математическими моделями процесса. Модель по возможности должна быть простой и адекватной.

Задача регрессионного анализаустановление уравнения регрессии, т. е. вида кривой между случайными величинами, и оценка тесноты связи между ними, достоверности и адекватности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между x и y, наносят точки на графики строят так называемое корреляционное поле. Корреляционное поле характеризует вид связи между x и y. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующего прямолинейную или криволинейную зависимости.

Если на корреляционном поле усреднить точки, то можно получить ломаную линию, называемую экспериментальной регрессионной зависимостью. Наличие ломаной линии объясняется погрешностями измерений, недостаточным количеством измерений, физической сущностью исследуемого явления и др.