Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным соединениям. К ним относятся трехлучевая звезда и треугольник сопротивлений. Существует возможность их взаимных эквивалентных преобразований.

Рассмотри преобразование треугольника в звезду.

Рис. 14.

По второму закону Кирхгофа для треугольника:

R_ab I_ab+ R_bc I_bc+ R_ca I_ca=0 (1).

Для узлов а и b:

I_ca= I_ab —I_a; I_bc= I_ab +I_b.

Подставим в (1):

R_ab I_ab+ R_bc I_b+ R_ca I_ab — R_ca I_a=0

I_ab (R_ab+ R_bc+ R_cа) + R_bc I_b — R_ca I_a=0

; (2).

Для звезды U_ab равно разности падений напряжений на R_a и R_b

U_ab= R_a I_a — R_b I_b (3).

Сравним с (2):

;

По аналогии запишем для R_c:

.

Полученные формулы позволяют преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений.

Сопротивление одной стороны треугольника равно дроби, в числителе которой произведение двух прилегающих к лучу сопротивлений, в знаменателе сумма всех сопротивлений.

Формулы обратного преобразования (звезды в треугольник) можно получить, заменив все сопротивления проводимостями:

; ;

Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь (рис. 14). Сопротивления R₁₂, R₁₃, R₂₄, R₃₄ включены в плечи моста, в диагональ 1−4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3−4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 15.

Рис. 16.

Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R₂₄ R₃₄ R₂₃ звездой R₂ R₃ R₄ (рис. 15).

Задача. Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 19а) при следующих исходных данных: Е=2,2 В; R₁= 10 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 22 Ом; R_в=0.

Рис. 17.

Решение. Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 16. б).

Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Зная вес сопротивления, определим токи I₀, I₄ и I₅, которые в эквивалентной схеме имеют такие же значения, как и в исходной схеме. Расчет цепи производим методом свертывания.

; .

Поскольку сопротивления между собой соединены параллельно, их общее сопротивление будет равно:

.

а общее сопротивление схемы:

.

Тогда ток в неразветвленной части цепи, то есть общий ток:

.

Напряжение на параллельном участке, т. е. на сопротивлении R_A4C5, будет равно.

.

Значения токов в резисторах R₄ и R₅:

; .

Для определения тока I₃ в исходной схеме составляется уравнение по второму закону Кирхгоффа для контура ACD:. Откуда:

(т.е. ток идет от узла С к узлу А) По первому закону Кирхгофа для узлов, А и С:

Проверим:, что справедливо для первого закона Кирхгофа.

(Ответ: общее сопротивление схемы 11 Ом, общий ток I₀=0,2 А, I₁=0,156A, I₂=0,044A, I₃=0,04 A, I₄=0,16 A).