Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Уравнением с двумя неизвестными называется выражение вида:

(1.1).

Если из уравнения (1.1) можно выразить переменную, то получим уравнение вида.

(1.2).

Если уравнение (1.2) имеет вид или.

(1.3),.

то уравнение называют линейным, а графиком этой зависимости является прямая линия.

Из элементарной геометрии известно, что через две точки проходит единственная прямая. Это значит, что для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, принадлежащих данной прямой.

Пример 1. Построить прямую по ее уравнению .

Решение. Введем систему координат и определим координаты двух точек, принадлежащих этой прямой: при; при. Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую.

Рис. 1.

Линейным неравенством с двумя неизвестными называют неравенство вида.

.

где и — действительные числа.

Точки плоскости, удовлетворяющие уравнению (1.4) расположены на прямой, делящей всю координатную плоскость на две полуплоскости и. В одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство, в другой — .

Пример 2. Решить неравенство и изобразить область решения на плоскости .

Решение. Построим прямую.

Рис. 2.

Определим координаты двух точек, принадлежащих прямой: при; при. Нанесем точки на координатную плоскость и построим прямую, проходящую через эти точки. Для определения области решения неравенства, возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой, например и подставим ее координаты в заданное неравенство:, т. е. неравенство не выполняется, следовательно, областью решения заданного неравенства служит полуплоскость, не содержащая точку. Рис. 2.