Метод распространяющегося пучка

Параксиальное распространение: уравнение Гельмгольца

Изучение BPM начинается с нахождения параксиальной формы уравнения Гельмгольца. Это уравнение используются для исследования параксиального распространения в медленно меняющихся оптических структурах. Зная этого, можно восстановить BPM алгоритмы.

Пусть.

и (3.1).

Где n (x, y, z) — изменение профиля показателя преломления, n_eff(x, z) — эффективный показатель преломления (в данном случае избавились от y путем поиска эффективного показателя преломления), — распределение поля света.

Распространение света в волноводах с произвольной геометрией является очень сложным в целом, и, следовательно, понадобится сделать несколько приближений. Рассмотрим гармоническую зависимость электрических и магнитных полей, в виде монохроматических волн с угловой частотой щ, таким образом, что временная зависимость будет иметь форму. Уравнение, которое описывает такие ЭM волны является векторным уравнением Гельмгольца:

(3.2).

Несмотря на то, что можно работать с векторным уравнением, в средах, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, можно рассматривать проблему распространения оптического сигнала, с помощью скалярного уравнения Гельмгольца. В этом случае, уравнение имеет вид:

(3.3).

обозначает каждый из шести декартовых компонентов электрических и магнитных полей.

Показатель преломления в данной области обозначается и зависит от геометрии волновода. Если волна распространяется вдоль положительного направления оси, и показатель преломления среды в этом направлении меняется медленно, то поле может быть представлено в виде произведения комплексной амплитуды , которая медленно меняется, на быстро осциллирующую волну, движущуюся в положительном направлении оси z:

(3.5).

линза волновод оптический световой где характеристическая постоянная распространения,, а — показатель преломления подложки. Подставляя (3.4) и (3.5) в (3.3), и разделив на e^-iвz, получим следующие уравнения:

(3.6).

где характеризует пространственную зависимость волнового числа, а — волновое число в вакууме, — это оператор Лапласа в направлении.

или, используя связи:

и подставляя её в (3.6) получим следующий вид уравнения (3.6):

.

Решение уравнения Гельмгольца применяется для оптических волн в волноводах. Это решение известно как метод распространяющегося пучка (BPM).

Решение уравнения Гельмгольца в однородной среде — это набор плоских волн, и, следовательно, общее решение может быть представлено суперпозицией таких плоских волн. Рассмотрим решение волнового уравнения. Во-первых, разделим переменные волновой функции уравнения в направлении распространения и боковых направлениях:

(3.7).

Подставляя (3.7) в (3.6) и предполагая, что, получим операторное соотношение.

.

и, следовательно.

(3.8).

Подставляя в (3.7), получим.

(3.9).

Таким образом, волновую функцию, которая расположена на расстоянии от в направлении распространения, учитывая (3.7) можно записать в следующем виде:

(3.10).

Перепишем (3.10) в следующем виде:

(3.11).

где.

(3.12).

Здесь было использовано соотношение и пренебрегли .

Исходя из того, что является достаточно малым в (3.11) является дифференциальным оператором, при этом можно использовать следующее соотношение для функции f общего вида:

. (3.13).

Эта связь означает, что первый и второй оператор (3.11) не могут быть взаимозаменяемыми. Тем не менее, надо сделать операторы в (3.11) симметричными,.

(3.14).

При, смотрим (3.12), следовательно, уравнение (3.14) сводится к.

(3.15).

Это означает, что действие оператора.

(3.16).

соответствует изменению фазы на расстоянии в однородной среде с показателем преломления .

Таким образом, первый и третий члены (3.14) соответствуют распространению света в однородной среде с показателем преломления на. Выражение (3.14) означает, что волновая функция в может быть получена путем сдвига волновой функции по на в однородной среде с показателем преломления, затем фазового сдвига, соответствующего распространению через тонкую линзу, и, наконец, сдвига волновой функции на следующий в однородной среде с показателем преломления .