Тройные интегралы и их свойства

Определение тройного интеграла и его свойства.

Пусть R есть ограниченная замкнутая кубируемая область, на которой определена функция, а Т — разбиение области Е на частичные кубируемые области Е_к (к=) без общих внутренних точек, причём. Диаметром области Е_к называется число, где — расстояние между точками из области Е_к. Величину будем называть дроблением разбиений Т. В каждой области Е_к выберем произвольным образом точки. Сумма, где — объём частичной области Е_к, называется интегральной суммой функции по области Е. Значение интегральной суммы зависит от разбиений Т области Е на частичные области и от способа выбора точек .

Определение 5.1.Если существует конечный предел I интегральных сумм при :

.

который не зависит ни от разбиений Т, ни от выбора точек, то функцию f называют интегрируемой в области Е, а число I — тройным интегралом от функции f по области Е и обозначают или.

.

Также как и для интеграла Римона, двойного интеграла Римона, имеет место неабходимое условие интегрируемости: если функция f интегрируемая на Е, то она ограниченая на Е. Поэтому предел I может существовать только для ограниченной функции. Как и для двойного интеграла, вводятся нижние и верхние суммы Дарбу и соответствующий критерий интегрируемости функции, при помощи которого нетрудно доказать интегрируемость непрерывной функции: если функция f непрерывная на Е, то она интегрируемая на Е. Можно также доказать и более общую теорему:

Теорема 1. Если функция f ограничена на Е и непрерывна на Е за исключением только тех точек области, которые имеют нулевой объём, то она интегрируемая на Е.

Все свойства двойных интегралов справедливы и для тройных интегралов, поэтому, не доказывая, перечислим их.

1. Тройной интеграл по телу нулевого объёма равен нулю.

• 2. Имеет место выражение, где V (E) есть объём тела Е.
• 3. Если функции f и g есть интегрируемые на кубируемой области Е, а и любые действительные числа, то и функция интегрируемая на Е, причём:

=+.

4. Если множество {Ek},(к=), — разбиений области Е, то для интегрируемости функции f на Е необходимо и достаточно её интегрируемость на каждой из областей Ek, причём.

.

5. Если f и g есть интегрируемые на области Е функции и, то .

В частности, если, то .

6. Если функция интегрируемые на области Е, то функция также интегрируемая на Е и .

7. Если функция интегрируемыя на области Е и, , то.

8. Если функция непрерывная на кубируемой замкнутой области Е, то существует точка такая, что: =.

9. Если g, , интегрируемые соответственно на отрезках и и функции, то функция интегрируемая на параллелепипеде Р=, причём.

=.

Геометрический смысл тройного интеграла.

Пусть в кубируемой области Е задана функция =1, тогда.

=.

Таким образом, мы получили, что тройной интеграл по области Е есть объём тела Е.

Вычисление тройного интеграла.

Как и для двойного интеграла, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла.

Если каждая прямая, параллельная оси 0z, проходящая через внутреннюю точку области Е, перасякает её границу только в двух точках, то область Е называется элементарной относительно оси 0z.

Теорема 2. Если функция непрерывная на параллелепипеде Р=, то.

=. (1).

Теорема 3. Если функция непрерывная на элементарным относительно оси 0z области Е=,.

где замкнутая ограниченная область из R², а функции , — непрерывные на области, то.

=, (2).

где есть внутренний интеграл.

Доказательство этих теорем аналагично доказательству теорем для двойного интеграла.

Следствие 1. Если область из теоремы 3. элементарны относительно оси 0у, т. е., то, в соответствии с формулой (5) § 2, равенство (2) имеет вид:

=. (3).