Теорема о применимости усиленного закона больших чисел

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложи, мости больших чисел усиленного закона, установленные А. Н. Колмогоровым: достаточное (1930) — для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) — для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин X_i).

Теорема Колмогорова для случайных величин X₁, X₂, …, X_n, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия.

Вытекает приложимость к последовательности X₁, X₂, …, X_n, … больших чисел усиленного закона.

В терминах дисперсий условие.

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел b_n с расходящимся рядом можно построить последовательность независимых случайных величин X_n с DX_n не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия Может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mX_n — медиана X_n. Сходимость ряда.

необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что.

с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова вместо сходимости ряда.

устанавливается сходимость ряда.

.

где n_k = 2^k. При этом А. Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.