Решение через канонические уравнения

Задачу о движении заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса можно решить третьим способом — с помощью уравнений Гамильтона. Для этого запишем гамильтониан частицы в поле векторного потенциала :

(2.25).

где, , — компоненты обобщенного импульса. Канонические уравнения:

.

.

, (2.26).

где точкой обозначена производная по времени, а штрихом — производная по соответствующей переменной в скобках. Уравнение для изменения энергии частицы:

(2.27).

Из (2.26) и (2.27) получаем три интеграла движения:

, (2.28).

С учетом (2.4), (2.16) и (2.26), скорость изменения фазы :

(2.29).

Уравнение (2.27) легко преобразуется к виду:

(2.30).

В силу наличия интегралов (2.28), решение уравнения (2.30):

(2.31).

где есть энергия частицы до прихода импульса. С помощью третьего интеграла в (2.28) отыскиваем обобщенный импульс частицы:

(2.32).

Теперь из (2.26) легко найти скорости частицы. Интегрируя их, получаем:

(2.22**).

Для координаты мы воспользовались тем, что из определения (2.4) и соотношения (2.29) можно получить простое выражение:

(2.33).

Приводя подобные члены и сокращая множители, из (2.22**) можно получить.

(2.34).

Выразив разность из (2.34), перепишем первые два выражения из (2.22**):

(2.35).

Впрочем, и все еще присутствуют в равенствах (2.34)-(2.35) в неявном виде, поэтому они остаются уравнениями. В заключение отметим, что из сопоставления (2.22) и (2.22**) видно, что, .