Циклическое расширение задачи нелинейного программирования и оптимальные установившиеся режимы

Рассмотрим динамические системы, характеризующиеся конечным числом переменных. Установившимся называет режим системы, при котором для каждой из характеризующих ее переменных y_v(t) можно подобрать такой период T_v, что среднее за этот период значение y_v(t) постоянно во времени.

Формально.

Этому определению отвечают стационарные (статические) режимы, в которыхy_v(0 для всех v постоянны.

Следующий, более общий подкласс установившихся режимов образуют режимы, для которых можно найти такой период Г, что каждый из периодов T_v укладывается в нем целое число раз. Подобные режимы называют циклическими.

Данному выше определению удовлетворяют и режимы, для которых периода Г, общего для всех переменных y_v(t), не существует. Это соответствует случаю, когда отношение хотя бы двух периодов T_v и Г_ц иррационально. Такие режимы называют квазициклическими установившимися режимами.

Если система находится под влиянием внешних факторов, являющихся стационарными случайными процессами, и средние значения характеризующих ее переменных при достаточно большом периоде усреднения Т стремятся к некоторому пределу, то установившийся режим называют стохастическим.

Переход к установившемуся режиму, отличающемуся от статического, может быть вызван тем, что допустимого по условиям функционирования системы статического режима не существует, либо тем, что показатели эффективности системы в статическом режиме хуже, чем в режимах другого типа.

Приведем некоторые примеры.

• 1. Человеческий организм в установившемся режиме характеризуется постоянными температурой тела, составом артериальной крови и т. д. Но такие факторы, как давление крови, объем легких и некоторые другие, меняются периодически.
• 2. Система, состоящая из насоса, емкости (водонапорной башни) и потребителей, даже при постоянном потреблении жидкости G работает так, что насос то полностью выключен и подача жидкости в емкость равна нулю, то включен и работает в режиме с производительностью большей, чем G. Так что средняя производительность насоса равна G. Если зависимость производительности насоса G от затрачиваемой мощности N строго выпукла вниз, то средняя производительность при той же средней затрачиваемой мощности увеличивается по сравнению со статическим режимом.

Ниже будут рассмотрены главным образом циклические установившиеся режимы, среди которых полезно выделить два предельных класса. Первый класс включает в себя режимы, в которых каждый из периодов Г_у значительно превышает время переходных процессов в системе. При этом каждое из статических состояний предполагается устойчивым. В этом случае можно пренебречь динамикой системы и считать, что при изменении режимных переменных переменные состояния изменяются в соответствии со статическими характеристиками. Такие режимы называют квазистатическими.

Второй класс образуют скользящие установившиеся режимы, в которых все управляющие переменные или некоторые из них изменяются с такой высокой частотой, что за счет инерционности объекта переменные состояния остаются практически неизменными и их значения зависят лишь от осредненного влияния управляющих переменных.

Хотя статический режим и является частным случаем режима циклического, далее, говоря о циклическом режиме, будем подразумевать режим, при котором хотя бы одна из переменных процесса изменяется периодически во времени. Циклический режим будем называть эффективным, если переход к этому режиму позволяет получить более высокое, чем в статическом режиме, значение показателя эффективности процесса.

Циклические режимы характерны для систем, у которых допустимого статического режима не существует. Часто это связано с тем, что множество V допустимых значений переменных не выпукло, например, включает только дискретные значения переменных. Так, температура источника тепла, с которым контактирует рабочее тело в тепловой машине, может принимать лишь два значения: Т₊ (горячий источник) и Т_ (холодный источник). А средняя мощность за цикл должна быть максимальна при тех или иных ограничениях.

Циклические процессы могут быть организованы не только во времени. Переменные могут изменяться и вдоль пространственной координаты. В этом случае в каждом сечении аппарата параметры системы неизменны, а от сечения к сечению они меняются периодически.

Переход от статического режима к циклическому предполагает замену целевой функции ее средним значением за период цикла, замену всех или части ограничений, наложенных для каждого момента времени, усредненными ограничениями. Таким образом, этот переход связан с введением в задачу операции усреднения. При этом необходимо ответить на следующие вопросы:

• а) существует ли циклический режим, удовлетворяющий условиям задачи?
• б) эффективен ли переход от оптимального статического режима к циклическому?
• в) каково возможное значение выигрыша в критерии оптимальности при таком переходе?
• г) каковы оптимальные формы изменения управляющих переменных и переменных состояния, условия оптимальности, вычислительные алгоритмы решения?

Ответы на вопросы а) — в) желательно получить, не решая задачи г), что в большинстве случаев достаточно сложно.

Примеры расширений можно продолжить. Важно то, что различные типы расширений связаны друг с другом, а значения расширенных задач могут быть упорядочены. Так, как показано ниже, связь усредненного и циклического расширений во многих случаях позволяет оценить сверху и снизу эффективность перехода к циклическому режиму, решая существенно более простую усредненную задачу вместо задачи об оптимальном цикле.