Понятие о символичном методе. 
Комплексное сопротивление и проводимость. 
Законы Ома и Кирхгофа

В комплексной форме.

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 3.2, а). Ток и напряжение на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

(3.12).

(3.13).

По определению, комплексным сопротивлением пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

(3.14).

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

(3.15).

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной.

или алгебраической.

(3.17).

формах. Величины и называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины и — его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи называется также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим из (3.14) и (3.15).

(3.18).

Сравнивая (2.16) и (2.18), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

(3.19).

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

(3.20).

Общая методика решения системы динамических уравнений Система динамических уравнений представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Эту систему уравнений всегда можно свести к одному дифференциальному уравнению n-ого порядка, где n — количество накопителей энергии в цепи. Из курса математики известно, что решение такого уравнения ищется в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Вид последнего решения зависит от числа и вида корней характеристического уравнения, составленного по полученному однородному дифференциальному уравнению. Возникающие в результате решения постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которыми служат значения токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах, а также их производных в момент времени t=0.

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы. Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

где — количество ветвей, подходящих к узлу.

По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:

Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

где — количество элементов в контуре,.

— количество ЭДС в контуре.

Пример: