Несобственные интегралы. 
Математический анализ

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке [a,+). Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению.

=.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-, b];

=.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

.

где с — произвольное число. В этом случае интеграл сходиться лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример

Вычисл…

Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное в функцию z. Получим z = x²+2 или z =. Эта функция имеет единственный минимум при = 3.

Соответствующее значение функции Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g (x, у) = С оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции z = f (x, y) при условии g (x, y) = С, то существует значение такое, что точкаявляется точкой экстремума функции L{x, y,).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f (х, у) при условии g (x, y) = С требуется найти решение системы На рис. показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия g (х, у) = С пунктирная, линия уровня g (x, y) = Q функции z = f (x, y) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f (x, y) касается линии g (x, y) = С.

Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа.

L = х² + 2у² +.

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений Ее единственное решение (х = 3, у = 1, = —2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f (x, y) имеет условный минимум.