Примеры неевклидовых колец

Существуют числовые факториальные кольца, которые не являются евклидовыми. Например, таковым является кольцо.

" [ ,-1 + ьД9., «1.

К = <�а + Ь-—-a, beZ>, но доказывается это не совсем просто.

Существуют нефакториальные кольца. Например, кольцо Z + ZiV5 нефакториальное, в нем число 6 неоднозначно раскладывается на простые множители: 6 = 2 • 3 = (1 + Ы5) (1 — iV5).

Подобная ситуация и в кольце Z + Zi-Jl9. Мы же докажем, что это кольцо нефакториальное, рассуждениями, которым можно придать общий характер. Обозначим со = —Если бы кольцо Z + Zi>/l9 было факториальным, то нашлось бы в нем простое число р, входящее в разложение числителя, а = -1 + iV19 в меньшей степени, чем в разложение знаменателя (3 = 2, иначе число со принадлежало бы кольцу Z + Zi-Jl9, что не так. Легко проверить равенство со² + со + 5 = 0. Отсюда следует, что а² = —сер — 5(3². Но это равенство невозможно, так как простое число р входит в разложение левой части в меньшей степени, чем в разложение правой. Полученное противоречие доказывает, что рассматриваемое кольцо нефакториальное.

В заключение рассмотрим два примера «странных» ситуаций с разложением на простые множители.

• 1. Пусть М есть множество всех чисел вида 2^п, где п — неотрицательное рациональное число. Это множество замкнуто относительно умножения. Единственным делителем единицы в М является 1, а всякое другое число бесконечно раскладывается на убывающие сомножители, например 2 =
• 1 ¹ ]. 1 1 I

= 22 -22 =24 -24 -24 -24 =… .

2 (пример Д. Гильберта). Пусть М есть множество всех чисел вида 4п + 1, где п — целое неотрицательное число. Тогда единственным делителем единицы в М является 1. Рассмотрим в этом множестве числа 9 = 4- 2 +1, 21 = 4- 5 + 1, 49 = 4- 12 + 1.

юз и 441 = 4 • 110 + 1. Легко видеть, что первые три числа являются простыми в М, а четвертое — составное число, которое неоднозначно раскладывается на простые множители: 441 = = 9−49 = 21−21.