Задачи по теории вероятностей

Задача № 1

Дано:

В студенческой группе 20 человек, из них 8 девушек. Группу делят случайным образом на две подгруппы по 10 человек. Найти вероятность того, что четыре девушки попадут в одну подгруппу и четыре в другую.

Решение:

Из 20 человек в группе 8 девушек и 12 юношей. Следовательно, при разбитии в каждой группе должно получится по 6 юношей и 4 девушки.

Будем отдельно находить число разбиений множества юношей на две равные подгруппы:, и также разбиений множества девушек на 2 равные подгруппы:. Тогда число равных разбиений, в которых будет по 4 девушки и 6 юношей в каждой подгруппе, по правилу умножения будет равно:

* = 924 * 70 = 64 680.

Задача № 2

Дано:

Вероятность выиграть кубок по хоккею для команды первого дивизиона равна 0,65, а для команды второго дивизиона — 0,2. Некто сделал ставку на одну команду. Найти вероятность того, что ставка сыграет, если в соревнованиях участвуют 14 команд первого дивизиона и 6 команд второго дивизиона. задача вероятность случайный корреляция.

Решение:

• 0 с вероятностью 0,35 * 0,8 = 0,28
• 1 с вероятностью 0,65 * 0,8 = 0,52
• 2 с вероятностью 0,35 * 0,2 = 0,07

Задача № 3

Дано:

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) менее двух договоров; б) 6 договоров.

Решение:

По формуле Бернулли получим:

Р (0)=(1−0,15)^10 = 0,19 687.

P (1)=10*(0,15)*(1−0,15)^9 = 0,34 743.

Р (6)= С (6 из 10)*(0,15)^6*(1−0,15)^4 = 0,0004.

Р (менее 2)= 1 — Р (0 или 1) = 1 — Р (0)-Р (1) = 1 — 0,19 687 — 0,34 743 = 0,4557.

Задача № 4

Дано:

На связке имеется 5 разных ключей от разных кабинетов. Вынутым наудачу ключом пробуют открыть дверь одного из кабинетов. Составить закон распределения случайной величины Х — числа попыток открыть дверь; проверенный ключ второй раз не используется. Найти числовые характеристики МХ, DX, (х).

Решение:

Рассмотрим случайную величину X — число попыток открыть дверь ближайшего кабинета, которая может принимать значения 1,2,3,4,5. Требуется найти. Составим сначала закон распределения случайной величины X. Введем события:

— «дверь открыта с i — ой попытки», ;

— «дверь не открыта с i — ой попытки», .

и — зависимые события, т.к. проверенный ключ не кладется обратно в карман.

По теореме умножения для зависимых событий, находим:

Проверка: — верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Находим математическое ожидание:

столько раз в среднем придется открывать эту комнату.

Вычислим.

D (X) =.

Далее получим:

Дано:

Для исследования потока посетителей на одном предприятии массового обслуживания (например, столовая) измерили интервалы времени между последовательно проходящими посетителями. Результаты сведены в таблицу. На уровне значимости б = 0,01 проверить гипотезу о том, что интервалы времени между последовательно проходящими посетителями можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.

Решение:

Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант и вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:

= 1/40*(0,5 * 9 + 1,5 * 20 + 2,5 * 6 + 3,5 * 2 + 4,5 * 3) = 1/40 * (4,5 + 30 + 15 + 7 + 13,5) = 1,75.

= 1/40 * (0,5² *9 + 1,5² *20 + 2,5² * 6 + 3,5² *2 + 4,5² *3) = 1/40 * (2,25 + 45 + 37,5 + 24,5 + 60,75) = 1/40 * 170 = 4,25.

= - ()² = 4,25 — 3,06 = 1,19.

= * = 40/39 * 1,19 = 1,22.

= = 1,10.

Для удобства вычислений составим таблицу:

По таблице критических точек распределения по уровню значимости б= 0,01 и числу степеней свободы k = s — 3 = 5 — 3 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области:

X_кр² = 9,2.

Так как 56,62 > 9,2, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не принимаем.

Задача № 6

Дано:

Дана выборка двумерной случайной величины (n = 20). Требуется:

• а) построить корреляционное поле;
• б) вычислить выборочные коэффициенты корреляции;
• в) составить уравнение регрессии Y на X и построить линию регрессии.

Решение:

a) На плоскости отмечаем точки с координатами (x; y):

б) Вычисляем оценки числовых характеристик:

= = 10.

= = 6,625.

• ?_x² = 0,05 * (4,3²+ … + 15,7²) — 100= 0,05*(18,49 + 24,01 + 30,25 + 37,21 + 44,89 + 53,29 + 62,41 + 72,25 + 82,81 + 94,09 + 106,09 + 118,81 + 132,25 + 146,41 + 161,29 + 176,89 + 193,21 + 210,25 + 228,01 + 246,49) — 100 = 0,05 * 2239,4 — 100 = 11,97
• ?_x = 3,46.
• ?_y² = 0,05 * (12,4² +…+ 3,6²) — 43,89= 0,05 * (153,76 + 123,21 + 116,64 + 92,16 + 86,49 + 65,61 + 60,84 + 47,61 + 43,56 + 39,69 + 27,04 + 24,01 + 21,16 + 18,49 + 21,16 + 18,49 + 16 + 17,64 + 15,21 + 12,96) — 43,89 = 0,05 * 1021,73 — 43,89 = 7,2.
• ?_y = 2,68.

= 53,32 + 54,39 + 59,4 + 58,56 + 62,31 + 59,13 + 61,62 + 58,65 + 60,06 + 61,11 + 53,56 + 53,41 + 52,9 + 52,03 + 58,42 + 57,19 + 55,6 + 60,9 + 58,89 + 56,52 = 1147,97.

Тогда выборочный коэффициент корреляции равен:

r = (1147,97 — 20 * 10 * 6,625) / (20 * 3,46 * 2,68) = - 177,03 / 185,46 = - 0,95.

в) Уравнение регрессии имеет вид:

y — 6,625 = - 0,95 * (x — 10).

Следовательно,.

у = - 0,736x + 13,98.